HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem abs2dift 6839
Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2dift |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` A) - (abs` B)) <_ (abs` (A - B)))
Proof of Theorem abs2dift
StepHypRef Expression
1 subid1t 5368 . . . 4 |- (A e. CC -> (A - 0) = A)
21fveq2d 3713 . . 3 |- (A e. CC -> (abs` (A - 0)) = (abs` A))
3 subid1t 5368 . . . 4 |- (B e. CC -> (B - 0) = B)
43fveq2d 3713 . . 3 |- (B e. CC -> (abs` (B - 0)) = (abs` B))
52, 4opreqan12d 3964 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - 0)) - (abs` (B - 0))) = ((abs` A) - (abs` B)))
6 0cn 5300 . . . 4 |- 0 e. CC
7 abs3dift 6836 . . . 4 |- ((A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A - 0)) <_ ((abs` (A - B)) + (abs` (B - 0))))
86, 7mp3an2 901 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A - 0)) <_ ((abs` (A - B)) + (abs` (B - 0))))
9 subclt 5339 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 0 e. CC) -> (A - 0) e. CC)
106, 9mpan2 694 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A - 0) e. CC)
11 absclt 6768 . . . . . . . 8 |- ((A - 0) e. CC -> (abs` (A - 0)) e. RR)
1210, 11syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (abs` (A - 0)) e. RR)
13 subclt 5339 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ 0 e. CC) -> (B - 0) e. CC)
146, 13mpan2 694 . . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (B - 0) e. CC)
15 absclt 6768 . . . . . . . 8 |- ((B - 0) e. CC -> (abs` (B - 0)) e. RR)
1614, 15syl 10 . . . . . . 7 |- (B e. CC -> (abs` (B - 0)) e. RR)
1712, 16anim12i 333 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR))
18 subclt 5339 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)
19 absclt 6768 . . . . . . 7 |- ((A - B) e. CC -> (abs` (A - B)) e. RR)
2018, 19syl 10 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A - B)) e. RR)
2117, 20jca 288 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR) /\ (abs` (A - B)) e. RR))
22 df-3an 775 . . . . 5 |- (((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR /\ (abs` (A - B)) e. RR) <-> (((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR) /\ (abs` (A - B)) e. RR))
2321, 22sylibr 200 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR /\ (abs` (A - B)) e. RR))
24 lesubaddt 5603 . . . 4 |- (((abs` (A - 0)) e. RR /\ (abs` (B - 0)) e. RR /\ (abs` (A - B)) e. RR) -> (((abs` (A - 0)) - (abs` (B - 0))) <_ (abs` (A - B)) <-> (abs` (A - 0)) <_ ((abs` (A - B)) + (abs` (B - 0)))))
2523, 24syl 10 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((abs` (A - 0)) - (abs` (B - 0))) <_ (abs` (A - B)) <-> (abs` (A - 0)) <_ ((abs` (A - B)) + (abs` (B - 0)))))
268, 25mpbird 196 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - 0)) - (abs` (B - 0))) <_ (abs` (A - B)))
275, 26eqbrtrrd 2627 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` A) - (abs` B)) <_ (abs` (A - B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   - cmin 5264   <_ cle 5267  abscabs 6681
This theorem is referenced by:  abs2difabst 6840  abs2dif 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685
Copyright terms: Public domain