Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abs2sqlt Structured version   Unicode version

Theorem abs2sqlt 25113
Description: The absolute values of two numbers compare as their squares. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2sqlt  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  <  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem abs2sqlt
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) )
21breq1d 4214 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  ( abs `  B )  <->  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  < 
( abs `  B
) ) )
31oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 ) )
43breq1d 4214 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  <  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  < 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) ) )
52, 4bibi12d 313 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  <  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  < 
( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) ) )
6 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) )
76breq2d 4216 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  <  ( abs `  B )  <->  ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  < 
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
8 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( ( abs `  B )  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  ->  ( ( abs `  B ) ^
2 )  =  ( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) )
98breq2d 4216 . . . 4  |-  ( ( abs `  B )  =  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  ->  ( (
( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <  ( ( abs `  B ) ^ 2 )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <  (
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 )  <-> 
( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  <  ( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) ^
2 ) ) )
117, 10bibi12d 313 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  < 
( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  < 
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ) ^
2 )  <  (
( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
12 0cn 9076 . . . 4  |-  0  e.  CC
1312elimel 3783 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1412elimel 3783 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1513, 14abs2sqlti 25111 . 2  |-  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  <  ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  <->  ( ( abs `  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) ^ 2 )  < 
( ( abs `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 ) )
165, 11, 15dedth2h 3773 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  <  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <  (
( abs `  B
) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    < clt 9112   2c2 10041   ^cexp 11374   abscabs 12031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
  Copyright terms: Public domain W3C validator