MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Unicode version

Theorem abscl 11779
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 11739 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
2 cjmulrcl 11645 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
3 cjmulge0 11647 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
4 resqrcl 11755 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  RR )
61, 5eqeltrd 2370 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   *ccj 11597   sqrcsqr 11734   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  absreim  11794  absdiv  11796  leabs  11800  absexp  11805  absexpz  11806  sqabs  11808  absimle  11810  abslt  11814  absle  11815  abssubne0  11816  lenegsq  11820  releabs  11821  recval  11822  absidm  11823  absgt0  11824  abstri  11830  abs2dif  11832  abs2difabs  11834  abs1m  11835  absf  11837  abs3lem  11838  abslem2  11839  absrdbnd  11841  caubnd2  11857  caubnd  11858  sqreulem  11859  sqreu  11860  abscli  11894  abscld  11934  mulcn2  12085  seqabs  12288  cvgcmpce  12292  divrcnv  12327  geomulcvg  12348  efcllem  12375  cnbl0  18299  cnblcld  18300  cncmet  18760  iblmulc2  19201  bddmulibl  19209  dveflem  19342  abelth  19833  efiarg  19977  argregt0  19980  argimgt0  19982  tanarg  19986  logtayllem  20022  bndatandm  20241  atantayl  20249  efrlim  20280  ftalem2  20327  lgslem3  20553  smcnlem  21286  cncph  21413  nmophmi  22627  bdophmi  22628  stoweid  27915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator