MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 11920
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 11765 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738   abscabs 11721
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12001  elo1mpt  12010  elo1mpt2  12011  elo1d  12012  o1bdd2  12017  o1bddrp  12018  rlimuni  12026  climuni  12028  o1eq  12046  rlimcld2  12054  rlimrege0  12055  climabs0  12061  mulcn2  12071  reccn2  12072  cn1lem  12073  cjcn2  12075  o1add  12089  o1mul  12090  o1sub  12091  rlimo1  12092  o1rlimmul  12094  climsqz  12116  climsqz2  12117  rlimsqzlem  12124  o1le  12128  caucvgrlem  12147  caucvgrlem2  12149  iseraltlem3  12158  iseralt  12159  fsumabs  12261  o1fsum  12273  iserabs  12275  cvgcmpce  12278  abscvgcvg  12279  divrcnv  12313  explecnv  12325  geomulcvg  12334  cvgrat  12341  mertenslem1  12342  mertenslem2  12343  efcllem  12361  efaddlem  12376  eftlub  12391  ef01bndlem  12466  sin01bnd  12467  cos01bnd  12468  absef  12479  alzdvds  12580  sqnprm  12779  pclem  12893  mul4sqlem  13002  xrsdsreclb  16420  gzrngunitlem  16438  gzrngunit  16439  prmirredlem  16448  nm2dif  18148  blcvx  18306  recld2  18322  addcnlem  18370  cnheiborlem  18454  cnheibor  18455  cnllycmp  18456  cphsqrcl2  18624  ipcau2  18666  tchcphlem1  18667  ipcnlem2  18673  cncmet  18746  pjthlem1  18803  volsup2  18962  mbfi1fseqlem6  19077  iblabslem  19184  iblabs  19185  iblabsr  19186  iblmulc2  19187  itgabs  19191  bddmulibl  19195  itgcn  19199  dveflem  19328  dvlip  19342  dvlipcn  19343  c1liplem1  19345  dveq0  19349  dv11cn  19350  lhop1lem  19362  dvfsumabs  19372  dvfsumrlim  19380  dvfsumrlim2  19381  ftc1a  19386  ftc1lem4  19388  plyeq0lem  19594  aalioulem2  19715  aalioulem3  19716  aalioulem4  19717  aalioulem5  19718  aalioulem6  19719  aaliou  19720  geolim3  19721  aaliou2b  19723  aaliou3lem9  19732  ulmbdd  19777  ulmcn  19778  ulmdvlem1  19779  mtest  19783  iblulm  19785  itgulm  19786  radcnvlem1  19791  radcnvlem2  19792  radcnvlt1  19796  radcnvle  19798  dvradcnv  19799  pserulm  19800  psercnlem2  19802  psercnlem1  19803  psercn  19804  pserdvlem1  19805  pserdvlem2  19806  pserdv  19807  abelthlem2  19810  abelthlem3  19811  abelthlem5  19813  abelthlem7  19816  abelthlem8  19817  sineq0  19891  tanregt0  19903  efif1olem3  19908  efif1olem4  19909  eff1olem  19912  cosargd  19964  cosarg0d  19965  argrege0  19967  logcnlem3  19993  logcnlem4  19994  efopnlem1  20005  logtayl  20009  abscxp2  20042  cxpcn3lem  20089  abscxpbnd  20095  cosangneg2d  20107  lawcoslem1  20115  lawcos  20116  pythag  20117  isosctrlem3  20122  ssscongptld  20124  chordthmlem3  20133  chordthmlem4  20134  chordthmlem5  20135  bndatandm  20227  efrlim  20266  rlimcxp  20270  o1cxp  20271  cxploglim2  20275  divsqrsumo1  20280  fsumharmonic  20307  ftalem1  20312  ftalem2  20313  ftalem3  20314  ftalem4  20315  ftalem5  20316  ftalem7  20318  logfacbnd3  20464  logfacrlim  20465  logexprlim  20466  dchrabs  20501  lgsdirprm  20570  lgsdilem2  20572  lgsne0  20574  lgsabs1  20575  mul2sq  20606  2sqlem3  20607  2sqblem  20618  vmadivsumb  20634  rplogsumlem2  20636  dchrisumlem2  20641  dchrisumlem3  20642  dchrisum  20643  dchrmusum2  20645  dchrvmasumlem2  20649  dchrvmasumlem3  20650  dchrvmasumiflem1  20652  dchrvmasumiflem2  20653  dchrisum0flblem1  20659  dchrisum0fno1  20662  dchrisum0lem1b  20666  dchrisum0lem1  20667  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  dchrisum0lem3  20670  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  mulog2sumlem1  20685  mulog2sumlem2  20686  2vmadivsumlem  20691  log2sumbnd  20695  selberglem2  20697  selbergb  20700  selberg2b  20703  chpdifbndlem1  20704  selberg3lem1  20708  selberg3lem2  20709  selberg4lem1  20711  pntrsumo1  20716  pntrsumbnd  20717  pntrsumbnd2  20718  pntrlog2bndlem1  20728  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bndlem5  20732  pntrlog2bndlem6  20734  pntrlog2bnd  20735  pntpbnd1a  20736  pntpbnd2  20738  pntibndlem2  20742  pntlemn  20751  pntlemj  20754  pntlemf  20756  pntlemo  20758  pntlem3  20760  pntleml  20762  smcnlem  21272  nmoub3i  21353  isblo3i  21381  htthlem  21499  bcs2  21763  pjhthlem1  21972  nmfnsetre  22459  nmfnleub2  22508  nmfnge0  22509  nmbdfnlbi  22631  nmcfnexi  22633  nmcfnlbi  22634  lnfnconi  22637  cnlnadjlem2  22650  cnlnadjlem7  22655  nmopcoadji  22683  leopnmid  22720  sqsscirc2  23295  subfaclim  23721  subfacval3  23722  sinccvglem  24007  dvreasin  24925  dvreacos  24926  areacirclem2  24936  areacirclem3  24937  areacirclem4  24938  areacirclem5  24940  areacirclem6  24941  areacirc  24942  msr3  25616  msr4  25617  mslb1  25618  2wsms  25619  lvsovso  25637  trirn  26474  geomcau  26486  cntotbnd  26531  rrndstprj1  26565  rrndstprj2  26566  ismrer1  26573  rencldnfilem  26914  irrapxlem2  26919  irrapxlem4  26921  irrapxlem5  26922  pellexlem2  26926  pellexlem6  26930  pell14qrgt0  26955  congabseq  27072  acongeq  27081  modabsdifz  27089  jm2.26lem3  27105  dvconstbi  27562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator