MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 11914
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 11759 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685   ` cfv 5221   CCcc 8731   RRcr 8732   abscabs 11715
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  11995  elo1mpt  12004  elo1mpt2  12005  elo1d  12006  o1bdd2  12011  o1bddrp  12012  rlimuni  12020  climuni  12022  o1eq  12040  rlimcld2  12048  rlimrege0  12049  climabs0  12055  mulcn2  12065  reccn2  12066  cn1lem  12067  cjcn2  12069  o1add  12083  o1mul  12084  o1sub  12085  rlimo1  12086  o1rlimmul  12088  climsqz  12110  climsqz2  12111  rlimsqzlem  12118  o1le  12122  caucvgrlem  12141  caucvgrlem2  12143  iseraltlem3  12152  iseralt  12153  fsumabs  12255  o1fsum  12267  iserabs  12269  cvgcmpce  12272  abscvgcvg  12273  divrcnv  12307  explecnv  12319  geomulcvg  12328  cvgrat  12335  mertenslem1  12336  mertenslem2  12337  efcllem  12355  efaddlem  12370  eftlub  12385  ef01bndlem  12460  sin01bnd  12461  cos01bnd  12462  absef  12473  alzdvds  12574  sqnprm  12773  pclem  12887  mul4sqlem  12996  xrsdsreclb  16414  gzrngunitlem  16432  gzrngunit  16433  prmirredlem  16442  nm2dif  18142  blcvx  18300  recld2  18316  addcnlem  18364  cnheiborlem  18448  cnheibor  18449  cnllycmp  18450  cphsqrcl2  18618  ipcau2  18660  tchcphlem1  18661  ipcnlem2  18667  cncmet  18740  pjthlem1  18797  volsup2  18956  mbfi1fseqlem6  19071  iblabslem  19178  iblabs  19179  iblabsr  19180  iblmulc2  19181  itgabs  19185  bddmulibl  19189  itgcn  19193  dveflem  19322  dvlip  19336  dvlipcn  19337  c1liplem1  19339  dveq0  19343  dv11cn  19344  lhop1lem  19356  dvfsumabs  19366  dvfsumrlim  19374  dvfsumrlim2  19375  ftc1a  19380  ftc1lem4  19382  plyeq0lem  19588  aalioulem2  19709  aalioulem3  19710  aalioulem4  19711  aalioulem5  19712  aalioulem6  19713  aaliou  19714  geolim3  19715  aaliou2b  19717  aaliou3lem9  19726  ulmbdd  19771  ulmcn  19772  ulmdvlem1  19773  mtest  19777  iblulm  19779  itgulm  19780  radcnvlem1  19785  radcnvlem2  19786  radcnvlt1  19790  radcnvle  19792  dvradcnv  19793  pserulm  19794  psercnlem2  19796  psercnlem1  19797  psercn  19798  pserdvlem1  19799  pserdvlem2  19800  pserdv  19801  abelthlem2  19804  abelthlem3  19805  abelthlem5  19807  abelthlem7  19810  abelthlem8  19811  sineq0  19885  tanregt0  19897  efif1olem3  19902  efif1olem4  19903  eff1olem  19906  cosargd  19958  cosarg0d  19959  argrege0  19961  logcnlem3  19987  logcnlem4  19988  efopnlem1  19999  logtayl  20003  abscxp2  20036  cxpcn3lem  20083  abscxpbnd  20089  cosangneg2d  20101  lawcoslem1  20109  lawcos  20110  pythag  20111  isosctrlem3  20116  ssscongptld  20118  chordthmlem3  20127  chordthmlem4  20128  chordthmlem5  20129  bndatandm  20221  efrlim  20260  rlimcxp  20264  o1cxp  20265  cxploglim2  20269  divsqrsumo1  20274  fsumharmonic  20301  ftalem1  20306  ftalem2  20307  ftalem3  20308  ftalem4  20309  ftalem5  20310  ftalem7  20312  logfacbnd3  20458  logfacrlim  20459  logexprlim  20460  dchrabs  20495  lgsdirprm  20564  lgsdilem2  20566  lgsne0  20568  lgsabs1  20569  mul2sq  20600  2sqlem3  20601  2sqblem  20612  vmadivsumb  20628  rplogsumlem2  20630  dchrisumlem2  20635  dchrisumlem3  20636  dchrisum  20637  dchrmusum2  20639  dchrvmasumlem2  20643  dchrvmasumlem3  20644  dchrvmasumiflem1  20646  dchrvmasumiflem2  20647  dchrisum0flblem1  20653  dchrisum0fno1  20656  dchrisum0lem1b  20660  dchrisum0lem1  20661  dchrisum0lem2a  20662  dchrisum0lem2  20663  dchrisum0lem3  20664  mudivsum  20675  mulogsumlem  20676  mulog2sumlem1  20679  mulog2sumlem2  20680  2vmadivsumlem  20685  log2sumbnd  20689  selberglem2  20691  selbergb  20694  selberg2b  20697  chpdifbndlem1  20698  selberg3lem1  20702  selberg3lem2  20703  selberg4lem1  20705  pntrsumo1  20710  pntrsumbnd  20711  pntrsumbnd2  20712  pntrlog2bndlem1  20722  pntrlog2bndlem2  20723  pntrlog2bndlem3  20724  pntrlog2bndlem4  20725  pntrlog2bndlem5  20726  pntrlog2bndlem6  20728  pntrlog2bnd  20729  pntpbnd1a  20730  pntpbnd2  20732  pntibndlem2  20736  pntlemn  20745  pntlemj  20748  pntlemf  20750  pntlemo  20752  pntlem3  20754  pntleml  20756  smcnlem  21264  nmoub3i  21345  isblo3i  21373  htthlem  21491  bcs2  21757  pjhthlem1  21966  nmfnsetre  22453  nmfnleub2  22502  nmfnge0  22503  nmbdfnlbi  22625  nmcfnexi  22627  nmcfnlbi  22628  lnfnconi  22631  cnlnadjlem2  22644  cnlnadjlem7  22649  nmopcoadji  22677  leopnmid  22714  subfaclim  23126  subfacval3  23127  sinccvglem  23412  dvreasin  24333  dvreacos  24334  areacirclem2  24335  areacirclem3  24336  areacirclem4  24337  areacirclem5  24339  areacirclem6  24340  areacirc  24341  msr3  25016  msr4  25017  mslb1  25018  2wsms  25019  lvsovso  25037  trirn  25874  geomcau  25886  cntotbnd  25931  rrndstprj1  25965  rrndstprj2  25966  ismrer1  25973  rencldnfilem  26314  irrapxlem2  26319  irrapxlem4  26321  irrapxlem5  26322  pellexlem2  26326  pellexlem6  26330  pell14qrgt0  26355  congabseq  26472  acongeq  26481  modabsdifz  26489  jm2.26lem3  26505  dvconstbi  26962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717
  Copyright terms: Public domain W3C validator