MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscld Structured version   Unicode version

Theorem abscld 12230
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 12075 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446   CCcc 8980   RRcr 8981   abscabs 12031
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12311  elo1mpt  12320  elo1mpt2  12321  elo1d  12322  o1bdd2  12327  o1bddrp  12328  rlimuni  12336  climuni  12338  o1eq  12356  rlimcld2  12364  rlimrege0  12365  climabs0  12371  mulcn2  12381  reccn2  12382  cn1lem  12383  cjcn2  12385  o1add  12399  o1mul  12400  o1sub  12401  rlimo1  12402  o1rlimmul  12404  climsqz  12426  climsqz2  12427  rlimsqzlem  12434  o1le  12438  climbdd  12457  caucvgrlem  12458  caucvgrlem2  12460  iseraltlem3  12469  iseralt  12470  fsumabs  12572  o1fsum  12584  iserabs  12586  cvgcmpce  12589  abscvgcvg  12590  divrcnv  12624  explecnv  12636  geomulcvg  12645  cvgrat  12652  mertenslem1  12653  mertenslem2  12654  efcllem  12672  efaddlem  12687  eftlub  12702  ef01bndlem  12777  sin01bnd  12778  cos01bnd  12779  absef  12790  alzdvds  12891  sqnprm  13090  pclem  13204  mul4sqlem  13313  xrsdsreclb  16737  gzrngunitlem  16755  gzrngunit  16756  prmirredlem  16765  nm2dif  18663  blcvx  18821  recld2  18837  addcnlem  18886  cnheiborlem  18971  cnheibor  18972  cnllycmp  18973  cphsqrcl2  19141  ipcau2  19183  tchcphlem1  19184  ipcnlem2  19190  cncmet  19267  pjthlem1  19330  volsup2  19489  mbfi1fseqlem6  19604  iblabslem  19711  iblabs  19712  iblabsr  19713  iblmulc2  19714  itgabs  19718  bddmulibl  19722  itgcn  19726  dveflem  19855  dvlip  19869  dvlipcn  19870  c1liplem1  19872  dveq0  19876  dv11cn  19877  lhop1lem  19889  dvfsumabs  19899  dvfsumrlim  19907  dvfsumrlim2  19908  ftc1a  19913  ftc1lem4  19915  plyeq0lem  20121  aalioulem2  20242  aalioulem3  20243  aalioulem4  20244  aalioulem5  20245  aalioulem6  20246  aaliou  20247  geolim3  20248  aaliou2b  20250  aaliou3lem9  20259  ulmbdd  20306  ulmcn  20307  ulmdvlem1  20308  mtest  20312  mtestbdd  20313  iblulm  20315  itgulm  20316  radcnvlem1  20321  radcnvlem2  20322  radcnvlt1  20326  radcnvle  20328  dvradcnv  20329  pserulm  20330  psercnlem2  20332  psercnlem1  20333  psercn  20334  pserdvlem1  20335  pserdvlem2  20336  pserdv  20337  abelthlem2  20340  abelthlem3  20341  abelthlem5  20343  abelthlem7  20346  abelthlem8  20347  sineq0  20421  tanregt0  20433  efif1olem3  20438  efif1olem4  20439  eff1olem  20442  cosargd  20495  cosarg0d  20496  argrege0  20498  abslogle  20505  logcnlem3  20527  logcnlem4  20528  efopnlem1  20539  logtayl  20543  abscxp2  20576  cxpcn3lem  20623  abscxpbnd  20629  cosangneg2d  20641  lawcoslem1  20649  lawcos  20650  pythag  20651  isosctrlem3  20656  ssscongptld  20658  chordthmlem3  20667  chordthmlem4  20668  chordthmlem5  20669  bndatandm  20761  efrlim  20800  rlimcxp  20804  o1cxp  20805  cxploglim2  20809  divsqrsumo1  20814  fsumharmonic  20842  ftalem1  20847  ftalem2  20848  ftalem3  20849  ftalem4  20850  ftalem5  20851  ftalem7  20853  logfacbnd3  20999  logfacrlim  21000  logexprlim  21001  dchrabs  21036  lgsdirprm  21105  lgsdilem2  21107  lgsne0  21109  lgsabs1  21110  mul2sq  21141  2sqlem3  21142  2sqblem  21153  vmadivsumb  21169  rplogsumlem2  21171  dchrisumlem2  21176  dchrisumlem3  21177  dchrisum  21178  dchrmusum2  21180  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumlem3  21185  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmasumiflem2  21188  dchrisum0flblem1  21194  dchrisum0fno1  21197  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0lem2a  21203  dchrisum0lem2  21204  dchrisum0lem3  21205  mudivsum  21216  mulogsumlem  21217  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem2  21221  2vmadivsumlem  21226  log2sumbnd  21230  selberglem2  21232  selbergb  21235  selberg2b  21238  chpdifbndlem1  21239  selberg3lem1  21243  selberg3lem2  21244  selberg4lem1  21246  pntrsumo1  21251  pntrsumbnd  21252  pntrsumbnd2  21253  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  pntrlog2bnd  21270  pntpbnd1a  21271  pntpbnd2  21273  pntibndlem2  21277  pntlemn  21286  pntlemj  21289  pntlemf  21291  pntlemo  21293  pntlem3  21295  pntleml  21297  smcnlem  22185  nmoub3i  22266  isblo3i  22294  htthlem  22412  bcs2  22676  pjhthlem1  22885  nmfnsetre  23372  nmfnleub2  23421  nmfnge0  23422  nmbdfnlbi  23544  nmcfnexi  23546  nmcfnlbi  23547  lnfnconi  23550  cnlnadjlem2  23563  cnlnadjlem7  23568  nmopcoadji  23596  leopnmid  23633  sqsscirc2  24299  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamgulmlem5  24809  lgambdd  24813  lgamucov  24814  lgamcvg2  24831  subfaclim  24866  subfacval3  24867  sinccvglem  25101  fprodabs  25289  iblabsnclem  26258  iblabsnc  26259  iblmulc2nc  26260  itgabsnc  26264  bddiblnc  26265  ftc1cnnclem  26268  ftc1anclem1  26270  ftc1anclem2  26271  ftc1anclem4  26273  ftc1anclem5  26274  ftc1anclem6  26275  ftc1anclem7  26276  ftc1anclem8  26277  ftc1anc  26278  ftc2nc  26279  dvreasin  26280  dvreacos  26281  areacirclem2  26282  areacirclem3  26283  areacirclem4  26284  areacirclem5  26286  areacirclem6  26287  areacirc  26288  trirn  26448  geomcau  26456  cntotbnd  26496  rrndstprj1  26530  rrndstprj2  26531  ismrer1  26538  rencldnfilem  26872  irrapxlem2  26877  irrapxlem4  26879  irrapxlem5  26880  pellexlem2  26884  pellexlem6  26888  pell14qrgt0  26913  congabseq  27030  acongeq  27039  modabsdifz  27047  jm2.26lem3  27063  dvconstbi  27519  stoweid  27779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
  Copyright terms: Public domain W3C validator