Theorem absclt 6768

Description: Real closure of absolute value.

Assertion

Ref	Expression
absclt	|- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Proof of Theorem absclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absvalt 6694	. 2 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))
2		sqrclt 6640	. . 3 |- (((A x. (*` A)) e. RR /\ 0 <_ (A x. (*` A))) -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
3		cjmulrclt 6736	. . 3 |- (A e. CC -> (A x. (*` A)) e. RR)
4		cjmulge0t 6738	. . 3 |- (A e. CC -> 0 <_ (A x. (*` A)))
5	2, 3, 4	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (sqr` (A x. (*` A))) e. RR)
6	1, 5	eqeltrd 1540	1 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   <_ cle 5267  sqrcsqr 6599  *ccj 6680  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  abscl 6774  absrpclt 6790  absreimt 6792  absdivz 6794  leabst 6799  absexpt 6803  abssubne0t 6820  lenegsqt 6823  releabst 6824  absidmt 6830  abs2dift 6839  abs2difabst 6840  absf 6843  seq1bnd 6847  seq1ublem 6848  caubnd 6863  caure 6864  cauim 6865  ser1absdiflem 6866  fsumabs 6981  fsumabs2mul 6982  clm4le 7019  2climnn 7039  2climnn0 7040  climrecl 7047  climge0 7049  climaddlem3 7052  climmullem1 7056  climmullem3 7058  climmullem4 7059  climmullem5 7060  climsqueeze 7076  climsqueeze2 7077  climabslem 7084  climabs 7085  climcj 7086  climubi 7089  climcau 7092  caucvg 7099  serzf0 7105  ser1f0 7106  iserzabslem 7114  cvgcmp3c 7122  reccnv 7153  expcnv 7168  georeclim 7175  geoisumr 7178  cvgratlem3ALT 7184  cvgratlem3 7187  cvgratlem4 7188  cvgratlem5 7189  abscncflem 7209  cjcncf 7213  mulc1cncf 7214  efcltlem1 7246  efaddlem10 7289  efaddlem13 7292  efaddlem17 7296  efaddlem19 7298  abspef01tlub 7336  efcn 7363  sin01bndlem2 7410  cos01bndlem2 7412  abseft 7425  nmcnilem 8272  sm1cnilem 8281  nmoub3i 8368  isblo3i 8392  cnph 8409  minveclem24 8499  minveclem25 8500  htthlem6 8555  htthlem8 8557  efifolem5 8641  efifolem7 8643  eff1i 8665  effoi 8666  effoiOLD 8667  bcs2t 8970  occllem6 9094  projlem25 9126  projlem26 9127  nmfnsetret 9721  nmfnleub2t 9766  nmfnge0t 9767  nmophm 9876  bdophm 9877  nmbdfnlb 9893  nmcfnexlem3 9897  nmcfnexlem6 9900  nmcfnlb 9902  lnfncon 9905  nlelch 9909  cnlnadjlem2 9916  cnlnadjlem7 9921  nmopcoadj 9948  leopnmidt 9982  msr3 10469  msr4 10470  mslb1 10473  2wsms 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain