Theorem abscn 8343

Description: The absolute value function on complex numbers is continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
abscn.1	|- C = (abs o. - )
abscn.2	|- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
abscn.3	|- J = (Open` C)
abscn.4	|- K = (Open` R)

Assertion

Ref	Expression
abscn	|- abs e. (J Cn K)

Proof of Theorem abscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
2	1	nmfval 8226	. . 3 |- (norm` <.<. + , x. >., abs>.) = (2nd` <.<. + , x. >., abs>.)
3		opex 2782	. . . 4 |- <. + , x. >. e. V
4		absf 6906	. . . . 5 |- abs:CC-->RR
5		axcnex 5267	. . . . 5 |- CC e. V
6		fex 3652	. . . . 5 |- ((abs:CC-->RR /\ CC e. V) -> abs e. V)
7	4, 5, 6	mp2an 697	. . . 4 |- abs e. V
8	3, 7	op2nd 4086	. . 3 |- (2nd` <.<. + , x. >., abs>.) = abs
9	2, 8	eqtr2 1496	. 2 |- abs = (norm` <.<. + , x. >., abs>.)
10		abscn.1	. . 3 |- C = (abs o. - )
11		eqid 1475	. . . 4 |- <.<. + , x. >., abs>. = <.<. + , x. >., abs>.
12		eqid 1475	. . . 4 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
13	11, 12	cnims 8334	. . 3 |- (abs o. - ) = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
14	10, 13	eqtr 1495	. 2 |- C = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
15		abscn.2	. 2 |- R = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
16		abscn.3	. 2 |- J = (Open` C)
17		abscn.4	. 2 |- K = (Open` R)
18	11	cnnv 8307	. 2 |- <.<. + , x. >., abs>. e. NrmCVec
19	9, 14, 15, 16, 17, 18	nmcni 8338	1 |- abs e. (J Cn K)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  <.cop 2411   X. cxp 3168   |` cres 3172   o. ccom 3174  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  2ndc2nd 4078  CCcc 5232  RRcr 5233   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  abscabs 6750   Cn ccn 7752  Opencopn 7792  normcnm 8209  IndMetcims 8210

This theorem is referenced by:  abscncfALT 8344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220

Copyright terms: Public domain