Theorem abscncflem 7274

Description: Lemma for abscncf 7275, recncf 7276, imcncf 7277, and cjcncf 7278.

Hypotheses

Ref	Expression
abscncflem.1	|- A (_ CC
abscncflem.2	|- F:CC-->A
abscncflem.3	|- ((x e. CC /\ w e. CC) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)))

Assertion

Ref	Expression
abscncflem	|- F e. (CC-cn->A)

Distinct variable group:   w,F,x

Proof of Theorem abscncflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2080	. 2 |- CC (_ CC
2		abscncflem.1	. 2 |- A (_ CC
3		abscncflem.2	. . 3 |- F:CC-->A
4		pm3.27 323	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. RR+) -> y e. RR+)
5		lelttrt 5523	. . . . . . . . . 10 |- (((abs` ((F` x) - (F` w))) e. RR /\ (abs` (x - w)) e. RR /\ y e. RR) -> (((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
6		fss 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:CC-->A /\ A (_ CC) -> F:CC-->CC)
7	3, 2, 6	mp2an 697	. . . . . . . . . . . . 13 |- F:CC-->CC
8	7	ffvelrni 3815	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CC -> (F` x) e. CC)
9	7	ffvelrni 3815	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. CC -> (F` w) e. CC)
10	8, 9	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> ((F` x) e. CC /\ (F` w) e. CC))
11		subclt 5367	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` x) e. CC /\ (F` w) e. CC) -> ((F` x) - (F` w)) e. CC)
12		absclt 6833	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` x) - (F` w)) e. CC -> (abs` ((F` x) - (F` w))) e. RR)
13	10, 11, 12	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) e. RR)
14		subclt 5367	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> (x - w) e. CC)
15		absclt 6833	. . . . . . . . . . 11 |- ((x - w) e. CC -> (abs` (x - w)) e. RR)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> (abs` (x - w)) e. RR)
17		rpret 6284	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR+ -> y e. RR)
18	5, 13, 16, 17	syl3an 868	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CC /\ w e. CC) /\ (x e. CC /\ w e. CC) /\ y e. RR+) -> (((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
19	18	3anidm12 882	. . . . . . . 8 |- (((x e. CC /\ w e. CC) /\ y e. RR+) -> (((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
20	19	expcom 374	. . . . . . 7 |- (y e. RR+ -> ((x e. CC /\ w e. CC) -> (((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y)))
21	20	imp3a 361	. . . . . 6 |- (y e. RR+ -> (((x e. CC /\ w e. CC) /\ ((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y)) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
22		abscncflem.3	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)))
23	22	ancli 296	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ w e. CC) -> ((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w))))
24	23	anim1i 334	. . . . . . 7 |- (((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w))) /\ (abs` (x - w)) < y))
25		anass 439	. . . . . . 7 |- ((((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w))) /\ (abs` (x - w)) < y) <-> ((x e. CC /\ w e. CC) /\ ((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y)))
26	24, 25	sylib 198	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` (x - w)) < y) -> ((x e. CC /\ w e. CC) /\ ((abs` ((F` x) - (F` w))) <_ (abs` (x - w)) /\ (abs` (x - w)) < y)))
27	21, 26	syl5 21	. . . . 5 |- (y e. RR+ -> (((x e. CC /\ w e. CC) /\ (abs` (x - w)) < y) -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
28	27	exp3a 375	. . . 4 |- (y e. RR+ -> ((x e. CC /\ w e. CC) -> ((abs` (x - w)) < y -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y)))
29	28	impcom 351	. . 3 |- (((x e. CC /\ w e. CC) /\ y e. RR+) -> ((abs` (x - w)) < y -> (abs` ((F` x) - (F` w))) < y))
30	3, 4, 29	elcncf1i 7271	. 2 |- ((CC (_ CC /\ A (_ CC) -> F e. (CC-cn->A))
31	1, 2, 30	mp2an 697	1 |- F e. (CC-cn->A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233   - cmin 5292   <_ cle 5295  RR+crp 5300   < clt 5486  abscabs 6750  -cn->ccncf 7262

This theorem is referenced by:  abscncf 7275  recncf 7276  imcncf 7277  cjcncf 7278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-cncf 7263

Copyright terms: Public domain