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Theorem abscxpbnd 20625
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 9639 . . . . 5  |-  1  <_  1
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  1
)
3 oveq12 6081 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
43adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
5 0cn 9073 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6 cxp0 20549 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0  ^ c  0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  ^ c  0 )  =  1
84, 7syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  1 )
98fveq2d 5723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  1 ) )
10 abs1 12090 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  1 )
12 fveq2 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  ( Re ` 
0 ) )
13 re0 11945 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1412, 13syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  0 )
1514oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  =  ( M  ^ c  0 ) )
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817cxp0d 20584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
0 )  =  1 )
1918adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( M  ^ c  0 )  =  1 )
2015, 19sylan9eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  =  1 )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2221abs00bd 12084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  0 )
2322oveq1d 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  ( 0  x.  pi ) )
24 pire 20360 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
2524recni 9091 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
2625mul02i 9244 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  pi )  =  0
2723, 26syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  0 )
2827fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  ( exp `  0 ) )
29 ef0 12681 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
3028, 29syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  1 )
3120, 30oveq12d 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
32 1t1e1 10115 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3331, 32syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  1 )
342, 11, 333brtr4d 4234 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
35 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  =  0 )
3635oveq1d 6087 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  B
) )
37 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3837adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
39 0cxp 20545 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4038, 39sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4136, 40eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  0 )
4241abs00bd 12084 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  0 )
43 0re 9080 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
45 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4645abscld 12226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
4745absge0d 12234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
48 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
4944, 46, 16, 47, 48letrd 9216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5037recld 11987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
5116, 49, 50recxpcld 20602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5251ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5337abscld 12226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5453ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
55 remulcl 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5654, 24, 55sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5756reefcld 12678 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
5816, 49, 50cxpge0d 20603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
5958ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
6056rpefcld 12694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR+ )
6160rpge0d 10641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
6252, 57, 59, 61mulge0d 9592 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6342, 62eqbrtrd 4224 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6434, 63pm2.61dane 2676 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6545adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
66 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
6737adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
6865, 66, 67cxpefd 20591 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
6968fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
70 logcl 20454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7145, 70sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7267, 71mulcld 9097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
73 absef 12786 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7472, 73syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7567recld 11987 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
7671recld 11987 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7775, 76remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
7877recnd 9103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
7967imcld 11988 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
8071imcld 11988 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8180renegcld 9453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8279, 81remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8382recnd 9103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
84 efadd 12684 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8578, 83, 84syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8679, 80remulcld 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
8786recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
8878, 87negsubd 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8979recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
9080recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9189, 90mulneg2d 9476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9291oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9367, 71remuld 12011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9488, 92, 933eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
9594fveq2d 5723 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
96 relog 20479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9745, 96sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9897oveq2d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) )
9998fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) ) )
10046recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
101100adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10245abs00ad 12083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
103102necon3bid 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
104103biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
10575recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
106101, 104, 105cxpefd 20591 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
10799, 106eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) ) )
108107oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
10985, 95, 1083eqtr3d 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11069, 74, 1093eqtrd 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11165abscld 12226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11265absge0d 12234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
113111, 112, 75recxpcld 20602 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
11482reefcld 12678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
115113, 114remulcld 9105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11651adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  e.  RR )
117116, 114remulcld 9105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11853, 24, 55sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
119118reefcld 12678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
120119adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )  e.  RR )
121116, 120remulcld 9105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )  e.  RR )
12282rpefcld 12694 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
123122rpge0d 10641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
12416adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
125 abscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
126125adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
12748adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <_  M )
128111, 112, 124, 75, 126, 127cxple2ad 20604 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
129113, 116, 114, 123, 128lemul1ad 9939 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
13058adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( M  ^ c 
( Re `  B
) ) )
13189abscld 12226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
13281recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
133132abscld 12226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
134131, 133remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
135118adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
13682leabsd 12205 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13789, 132absmuld 12244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
138136, 137breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13967abscld 12226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
140139, 133remulcld 9105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
141132absge0d 12234 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
142 absimle 12102 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
14367, 142syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
144131, 139, 133, 141, 143lemul1ad 9939 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14524a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
14667absge0d 12234 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
14790absnegd 12239 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
148 logimcl 20455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
14945, 148sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
150149simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
15124renegcli 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
152 ltle 9152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
153151, 80, 152sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
154150, 153mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
155149simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
156 absle 12107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
15780, 24, 156sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
158154, 155, 157mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
159147, 158eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
160133, 145, 139, 146, 159lemul2ad 9940 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
161134, 140, 135, 144, 160letrd 9216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
16282, 134, 135, 138, 161letrd 9216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
163 efle 12707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16482, 135, 163syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) 
<->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
165162, 164mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )
166114, 120, 116, 130, 165lemul2ad 9940 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
167115, 117, 121, 129, 166letrd 9216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
168110, 167eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16964, 168pm2.61dane 2676 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280   -ucneg 9281   Recre 11890   Imcim 11891   abscabs 12027   expce 12652   picpi 12657   logclog 20440    ^ c ccxp 20441
This theorem is referenced by:  o1cxp  20801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-ef 12658  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443
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