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Theorem abscxpbnd 20093
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 9396 . . . . 5  |-  1  <_  1
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  1
)
3 oveq12 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
43adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
5 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6 cxp0 20017 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0  ^ c  0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  ^ c  0 )  =  1
84, 7syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  1 )
98fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  1 ) )
10 abs1 11782 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  1 )
12 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  ( Re ` 
0 ) )
13 re0 11637 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1412, 13syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  0 )
1514oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  =  ( M  ^ c  0 ) )
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817cxp0d 20052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
0 )  =  1 )
1918adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( M  ^ c  0 )  =  1 )
2015, 19sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  =  1 )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  ( abs `  0 ) )
23 abs0 11770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  0 )  =  0
2422, 23syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  0 )
2524oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  ( 0  x.  pi ) )
26 pire 19832 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
2726recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
2827mul02i 9001 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  pi )  =  0
2925, 28syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  0 )
3029fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  ( exp `  0 ) )
31 ef0 12372 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
3230, 31syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  1 )
3320, 32oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
34 1t1e1 9870 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3533, 34syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  1 )
362, 11, 353brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
37 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  =  0 )
3837oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  B
) )
39 abscxpbnd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
41 0cxp 20013 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4240, 41sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4338, 42eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  0 )
4443fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  0 ) )
4544, 23syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  0 )
46 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
4746a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
48 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4948abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
5048absge0d 11926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
51 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
5247, 49, 16, 50, 51letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5339recld 11679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
5416, 52, 53recxpcld 20070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5554ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5639abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5756ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
58 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5957, 26, 58sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
6059reefcld 12369 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
6116, 52, 53cxpge0d 20071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
6261ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
6359rpefcld 12385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR+ )
6463rpge0d 10394 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
6555, 60, 62, 64mulge0d 9349 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6645, 65eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6736, 66pm2.61dane 2524 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6848adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
69 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
7039adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
7168, 69, 70cxpefd 20059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
7271fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
73 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7448, 73sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7570, 74mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
76 absef 12477 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 76syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7870recld 11679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
7974recld 11679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8078, 79remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
8180recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
8270imcld 11680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
8374imcld 11680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8483renegcld 9210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8582, 84remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8685recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
87 efadd 12375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8881, 86, 87syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8982, 83remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
9089recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
9181, 90negsubd 9163 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9282recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
9383recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9492, 93mulneg2d 9233 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9594oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9670, 74remuld 11703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9791, 95, 963eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
9897fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
99 relog 19950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
10048, 99sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
101100oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) ) )
10349recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
104103adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
105 abs00 11774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
10648, 105syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
107106necon3bid 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
108107biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
10978recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
110104, 108, 109cxpefd 20059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
111102, 110eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11388, 98, 1123eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11472, 77, 1133eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11568abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11668absge0d 11926 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
117115, 116, 78recxpcld 20070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
11885reefcld 12369 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
119117, 118remulcld 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
12054adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  e.  RR )
121120, 118remulcld 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
12256, 26, 58sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
123122reefcld 12369 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )  e.  RR )
125120, 124remulcld 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )  e.  RR )
12685rpefcld 12385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
127126rpge0d 10394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
12816adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
129 abscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
130129adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
13151adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <_  M )
132115, 116, 128, 78, 130, 131cxple2ad 20072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
133117, 120, 118, 127, 132lemul1ad 9696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
13461adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( M  ^ c 
( Re `  B
) ) )
13592abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
13684recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
137136abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
138135, 137remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
139122adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
14085leabsd 11897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14192, 136absmuld 11936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
142140, 141breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14370abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
144143, 137remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
145136absge0d 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
146 absimle 11794 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
14770, 146syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
148135, 143, 137, 145, 147lemul1ad 9696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14926a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
15070absge0d 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
15193absnegd 11931 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
152 logimcl 19927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
15348, 152sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
154153simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
15526renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
156 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
157155, 83, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
158154, 157mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
159153simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
160 absle 11799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
16183, 26, 160sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
162158, 159, 161mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
163151, 162eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
164137, 149, 143, 150, 163lemul2ad 9697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
165138, 144, 139, 148, 164letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
16685, 138, 139, 142, 165letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
167 efle 12398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16885, 139, 167syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) 
<->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
169166, 168mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )
170118, 124, 120, 134, 169lemul2ad 9697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
171119, 121, 125, 133, 170letrd 8973 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
172114, 171eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
17367, 172pm2.61dane 2524 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   expce 12343   picpi 12348   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  o1cxp  20269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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