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Theorem abscxpbnd 20109
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 9412 . . . . 5  |-  1  <_  1
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  1
)
3 oveq12 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
43adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  0 ) )
5 0cn 8847 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6 cxp0 20033 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0  ^ c  0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  ^ c  0 )  =  1
84, 7syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  1 )
98fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  1 ) )
10 abs1 11798 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  1 )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  ( Re ` 
0 ) )
13 re0 11653 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1412, 13syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  0 )
1514oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  =  ( M  ^ c  0 ) )
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817cxp0d 20068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
0 )  =  1 )
1918adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( M  ^ c  0 )  =  1 )
2015, 19sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  =  1 )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  ( abs `  0 ) )
23 abs0 11786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  0 )  =  0
2422, 23syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  0 )
2524oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  ( 0  x.  pi ) )
26 pire 19848 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
2726recni 8865 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
2827mul02i 9017 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  pi )  =  0
2925, 28syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  0 )
3029fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  ( exp `  0 ) )
31 ef0 12388 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
3230, 31syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  1 )
3320, 32oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
34 1t1e1 9886 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3533, 34syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  1 )
362, 11, 353brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
37 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  =  0 )
3837oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  ( 0  ^ c  B
) )
39 abscxpbnd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
41 0cxp 20029 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4240, 41sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c  B )  =  0 )
4338, 42eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c  B )  =  0 )
4443fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  0 ) )
4544, 23syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  0 )
46 0re 8854 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
4746a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
48 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4948abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
5048absge0d 11942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
51 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
5247, 49, 16, 50, 51letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5339recld 11695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
5416, 52, 53recxpcld 20086 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5554ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5639abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5756ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
58 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5957, 26, 58sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
6059reefcld 12385 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
6116, 52, 53cxpge0d 20087 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
6261ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
6359rpefcld 12401 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR+ )
6463rpge0d 10410 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
6555, 60, 62, 64mulge0d 9365 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6645, 65eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6736, 66pm2.61dane 2537 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6848adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
69 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
7039adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
7168, 69, 70cxpefd 20075 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( A  ^ c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
7271fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
73 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7448, 73sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7570, 74mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
76 absef 12493 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7775, 76syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7870recld 11695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
7974recld 11695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8078, 79remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
8180recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
8270imcld 11696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
8374imcld 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8483renegcld 9226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8582, 84remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8685recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
87 efadd 12391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8881, 86, 87syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8982, 83remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
9089recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
9181, 90negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9282recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
9383recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9492, 93mulneg2d 9249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9594oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9670, 74remuld 11719 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9791, 95, 963eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
9897fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
99 relog 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
10048, 99sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
101100oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) )
102101fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) ) )
10349recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
104103adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
105 abs00 11790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
10648, 105syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
107106necon3bid 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
108107biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
10978recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
110104, 108, 109cxpefd 20075 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
111102, 110eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) ) )
112111oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11388, 98, 1123eqtr3d 2336 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11472, 77, 1133eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11568abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11668absge0d 11942 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
117115, 116, 78recxpcld 20086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
11885reefcld 12385 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
119117, 118remulcld 8879 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
12054adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  e.  RR )
121120, 118remulcld 8879 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
12256, 26, 58sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
123122reefcld 12385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
124123adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )  e.  RR )
125120, 124remulcld 8879 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )  e.  RR )
12685rpefcld 12401 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
127126rpge0d 10410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
12816adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
129 abscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
130129adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
13151adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <_  M )
132115, 116, 128, 78, 130, 131cxple2ad 20088 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^ c  ( Re `  B ) ) )
133117, 120, 118, 127, 132lemul1ad 9712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
13461adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( M  ^ c 
( Re `  B
) ) )
13592abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
13684recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
137136abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
138135, 137remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
139122adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
14085leabsd 11913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14192, 136absmuld 11952 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
142140, 141breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14370abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
144143, 137remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
145136absge0d 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
146 absimle 11810 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
14770, 146syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
148135, 143, 137, 145, 147lemul1ad 9712 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14926a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
15070absge0d 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
15193absnegd 11947 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
152 logimcl 19943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
15348, 152sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
154153simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
15526renegcli 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
156 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
157155, 83, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
158154, 157mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
159153simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
160 absle 11815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
16183, 26, 160sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
162158, 159, 161mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
163151, 162eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
164137, 149, 143, 150, 163lemul2ad 9713 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
165138, 144, 139, 148, 164letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
16685, 138, 139, 142, 165letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
167 efle 12414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16885, 139, 167syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) 
<->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
169166, 168mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )
170118, 124, 120, 134, 169lemul2ad 9713 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
171119, 121, 125, 133, 170letrd 8989 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^ c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
172114, 171eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( ( M  ^ c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
17367, 172pm2.61dane 2537 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( ( M  ^ c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   expce 12359   picpi 12364   logclog 19928    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  o1cxp  20285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
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