Theorem absef01tllem 7387

Description: Lemma for absef01tlub 7388.

Hypotheses

Ref	Expression
ef1tllem.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
absef01tllem.2	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
absef01tllem.3	|- A e. CC
absef01tllem.4	|- (abs` A) e. (0(,]1)
absef01tllem.5	|- M e. NN

Assertion

Ref	Expression
absef01tllem	|- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F   k,G   j,M,k,y

Proof of Theorem absef01tllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumex 6981	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. V
2		sumex 6981	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. V
3		nn0ex 6107	. . . 4 |- NN0 e. V
4		ef1tllem.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
5	3, 4	fopabex2 3618	. . 3 |- F e. V
6		absef01tllem.2	. . . 4 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((abs` A)^j) / (!` j)))}
7	3, 6	fopabex2 3618	. . 3 |- G e. V
8		absef01tllem.5	. . . 4 |- M e. NN
9		nnzt 6155	. . . 4 |- (M e. NN -> M e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- M e. ZZ
11	8	nnnn0 6109	. . . . . . 7 |- M e. NN0
12		elnn0uz 6442	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 <-> M e. (ZZ>` 0))
13	11, 12	mpbi 189	. . . . . 6 |- M e. (ZZ>` 0)
14		uztrn 6429	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` M) /\ M e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
15	13, 14	mpan2 698	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. (ZZ>` 0))
16		elnn0uz 6442	. . . . 5 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
17	15, 16	sylibr 200	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. NN0)
18	4	eftval 7316	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19		absef01tllem.3	. . . . . . 7 |- A e. CC
20		eftclt 7303	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
21	19, 20	mpan 697	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
22	18, 21	eqeltrd 1551	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
23	19	eftabs 7375	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` ((A^k) / (!` k))) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
24	18	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (abs` (F` k)) = (abs` ((A^k) / (!` k))))
25	6	eftval 7316	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (((abs` A)^k) / (!` k)))
26	23, 24, 25	3eqtr4rd 1521	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (abs` (F` k)))
27	22, 26	jca 288	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
28	17, 27	syl 10	. . 3 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
29	4	eftlext 7378	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
30	19, 8, 29	mp2an 699	. . . 4 |- E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x
31	5	isumclim2t 7199	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> (<.M, + >. seq F) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k))
32	10, 30, 31	mp2an 699	. . 3 |- (<.M, + >. seq F) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)
33	19	abscl 6839	. . . . . 6 |- (abs` A) e. RR
34	33	recn 5326	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
35	6	eftlext 7378	. . . . 5 |- (((abs` A) e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x)
36	34, 8, 35	mp2an 699	. . . 4 |- E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x
37	7	isumclim2t 7199	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq G) ~~> x) -> (<.M, + >. seq G) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k))
38	10, 36, 37	mp2an 699	. . 3 |- (<.M, + >. seq G) ~~> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k)
39	1, 2, 5, 7, 10, 28, 32, 38	iserzabs 7179	. 2 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k)
40		absef01tllem.4	. . 3 |- (abs` A) e. (0(,]1)
41	6	ef01tlub 7386	. . 3 |- (((abs` A) e. (0(,]1) /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
42	40, 8, 41	mp2an 699	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))
43	4	eftlclt 7379	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC)
44	19, 8, 43	mp2an 699	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC
45	44	abscl 6839	. . 3 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) e. RR
46	6	reeftlclt 7380	. . . 4 |- (((abs` A) e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR)
47	33, 8, 46	mp2an 699	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR
48		reexpclt 6581	. . . . 5 |- (((abs` A) e. RR /\ M e. NN0) -> ((abs` A)^M) e. RR)
49	33, 11, 48	mp2an 699	. . . 4 |- ((abs` A)^M) e. RR
50		eftlubclt 7376	. . . . 5 |- (M e. NN -> ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR)
51	8, 50	ax-mp 7	. . . 4 |- ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR
52	49, 51	remulcl 5347	. . 3 |- (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) e. RR
53	45, 47, 52	letr 5600	. 2 |- (((abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) /\ sum_k e. (ZZ>` M)(G` k) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))) -> (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
54	39, 42, 53	mp2an 699	1 |- (abs` sum_k e. (ZZ>` M)(F` k)) <_ (((abs` A)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310  (,]cioc 6359  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532  ^cexp 6569  abscabs 6751  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  absef01tlub 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioc 6363  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain