MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefi Unicode version

Theorem absefi 12471
Description: The absolute value of the exponential function of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
absefi  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )

Proof of Theorem absefi
StepHypRef Expression
1 recn 8823 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 efival 12427 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
43fveq2d 5490 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
5 recoscl 12416 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
6 resincl 12415 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
7 absreim 11773 . . . 4  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
85, 6, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
95resqcld 11266 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
109recnd 8857 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
116resqcld 11266 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1211recnd 8857 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
1310, 12addcomd 9010 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
14 sincossq 12451 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
151, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1613, 15eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1716fveq2d 5490 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  1 ) )
18 sqr1 11752 . . . 4  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1917, 18syl6eq 2333 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  1 )
208, 19eqtrd 2317 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  1 )
214, 20eqtrd 2317 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   1c1 8734   _ici 8735    + caddc 8736    x. cmul 8738   2c2 9791   ^cexp 11099   sqrcsqr 11713   abscabs 11714   expce 12338   sincsin 12340   cosccos 12341
This theorem is referenced by:  absef  12472  efieq1re  12474  pige3  19880  efif1olem4  19902  efifo  19904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10657  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154  df-ef 12344  df-sin 12346  df-cos 12347
  Copyright terms: Public domain W3C validator