MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefi Unicode version

Theorem absefi 12403
Description: The absolute value of the exponential function of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
absefi  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )

Proof of Theorem absefi
StepHypRef Expression
1 recn 8760 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 efival 12359 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
43fveq2d 5427 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
5 recoscl 12348 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
6 resincl 12347 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
7 absreim 11708 . . . 4  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  ( sin `  A )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( sqr `  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
85, 6, 7syl2anc 645 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) ) ) )
95resqcld 11202 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
109recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
116resqcld 11202 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1211recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
1310, 12addcomd 8947 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) )
14 sincossq 12383 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
151, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1613, 15eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( cos `  A
) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
1716fveq2d 5427 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  1 ) )
18 sqr1 11687 . . . 4  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1917, 18syl6eq 2304 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sqr `  ( ( ( cos `  A ) ^ 2 )  +  ( ( sin `  A
) ^ 2 ) ) )  =  1 )
208, 19eqtrd 2288 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  1 )
214, 20eqtrd 2288 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   1c1 8671   _ici 8672    + caddc 8673    x. cmul 8675   2c2 9728   ^cexp 11035   sqrcsqr 11648   abscabs 11649   expce 12270   sincsin 12272   cosccos 12273
This theorem is referenced by:  absef  12404  efieq1re  12406  pige3  19812  efif1olem4  19834  efifo  19836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279
  Copyright terms: Public domain W3C validator