Theorem abseft 7425

Description: The absolute value of the exponential function is the exponential function of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abseft	|- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (exp` (Re` A)))

Proof of Theorem abseft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimt 6692	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
2		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))) -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
3	1, 2	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` A) = (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))))
4		efaddt 7309	. . . . . . . 8 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
5		reclt 6688	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
6		recnt 5285	. . . . . . . . 9 |- ((Re` A) e. RR -> (Re` A) e. CC)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
8		axmulcl 5245	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
9		axicn 5242	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
10	9	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> i e. CC)
11		imclt 6689	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
12		recnt 5285	. . . . . . . . . 10 |- ((Im` A) e. RR -> (Im` A) e. CC)
13	11, 12	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
14	8, 10, 13	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
15	4, 7, 14	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` ((Re` A) + (i x. (Im` A)))) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
16	3, 15	eqtrd 1499	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))))
17		fveq2 3709	. . . . . 6 |- ((exp` A) = ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A)))) -> (abs` (exp` A)) = (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))))
18	16, 17	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))))
19		absmult 6793	. . . . . 6 |- (((exp` (Re` A)) e. CC /\ (exp` (i x. (Im` A))) e. CC) -> (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
20		reefclt 7260	. . . . . . . 8 |- ((Re` A) e. RR -> (exp` (Re` A)) e. RR)
21	5, 20	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (exp` (Re` A)) e. RR)
22		recnt 5285	. . . . . . 7 |- ((exp` (Re` A)) e. RR -> (exp` (Re` A)) e. CC)
23	21, 22	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` (Re` A)) e. CC)
24		efclt 7254	. . . . . . 7 |- ((i x. (Im` A)) e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) e. CC)
25	14, 24	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` (i x. (Im` A))) e. CC)
26	19, 23, 25	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` ((exp` (Re` A)) x. (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
27	18, 26	eqtrd 1499	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))))
28		absefit 7424	. . . . . 6 |- ((Im` A) e. RR -> (abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1)
29	11, 28	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1)
30		opreq2 3954	. . . . 5 |- ((abs` (exp` (i x. (Im` A)))) = 1 -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
31	29, 30	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. (abs` (exp` (i x. (Im` A))))) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
32	27, 31	eqtrd 1499	. . 3 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1))
33		absclt 6768	. . . . 5 |- ((exp` (Re` A)) e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) e. RR)
34		recnt 5285	. . . . 5 |- ((abs` (exp` (Re` A))) e. RR -> (abs` (exp` (Re` A))) e. CC)
35	23, 33, 34	3syl 20	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) e. CC)
36		ax1id 5254	. . . 4 |- ((abs` (exp` (Re` A))) e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1) = (abs` (exp` (Re` A))))
37	35, 36	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (Re` A))) x. 1) = (abs` (exp` (Re` A))))
38	32, 37	eqtrd 1499	. 2 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (abs` (exp` (Re` A))))
39		absidt 6797	. . 3 |- (((exp` (Re` A)) e. RR /\ 0 <_ (exp` (Re` A))) -> (abs` (exp` (Re` A))) = (exp` (Re` A)))
40		efgt0t 7346	. . . . 5 |- ((Re` A) e. RR -> 0 < (exp` (Re` A)))
41	5, 40	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> 0 < (exp` (Re` A)))
42		ltlet 5493	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (exp` (Re` A)) e. RR) -> (0 < (exp` (Re` A)) -> 0 <_ (exp` (Re` A))))
43		0reALT 5413	. . . . . 6 |- 0 e. RR
44	43	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. CC -> 0 e. RR)
45	42, 44, 21	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> (0 < (exp` (Re` A)) -> 0 <_ (exp` (Re` A))))
46	41, 45	mpd 26	. . 3 |- (A e. CC -> 0 <_ (exp` (Re` A)))
47	39, 21, 46	sylanc 471	. 2 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (Re` A))) = (exp` (Re` A)))
48	38, 47	eqtrd 1499	1 |- (A e. CC -> (abs` (exp` A)) = (exp` (Re` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   <_ cle 5267   < clt 5458  Recre 6678  Imcim 6679  abscabs 6681  expce 7235

This theorem is referenced by:  eff1lem 8664  eff1i 8665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243

Copyright terms: Public domain