MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 11922
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 11768 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   CCcc 8731   0cc0 8733    <_ cle 8864   abscabs 11715
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  11995  mulcn2  12065  o1mul  12084  o1rlimmul  12088  o1fsum  12267  cvgcmpce  12272  explecnv  12319  cvgrat  12335  mertenslem1  12336  mertenslem2  12337  efcllem  12355  eftlub  12385  sqnprm  12773  gzrngunitlem  16432  blcvx  18300  cnheibor  18449  cphsqrcl2  18618  ipcau2  18660  mbfi1fseqlem6  19071  iblabs  19179  iblabsr  19180  iblmulc2  19181  itgabs  19185  bddmulibl  19189  itgcn  19193  dvlip  19336  dvlipcn  19337  dveq0  19343  dv11cn  19344  plyeq0lem  19588  aalioulem3  19710  mtest  19777  radcnvlem1  19785  radcnvlem2  19786  radcnvlt1  19790  dvradcnv  19793  pserulm  19794  psercnlem2  19796  psercnlem1  19797  pserdvlem1  19799  pserdv  19801  abelthlem5  19807  abelthlem7  19810  abelthlem8  19811  tanregt0  19897  efif1olem3  19902  argregt0  19960  argrege0  19961  logtayllem  20002  logtayl  20003  abscxpbnd  20089  efrlim  20260  rlimcxp  20264  ftalem1  20306  ftalem4  20309  ftalem5  20310  lgsdirprm  20564  lgsdilem2  20566  lgsne0  20568  2sqblem  20612  dchrisumlem2  20635  dchrmusum2  20639  dchrvmasumlem2  20643  dchrvmasumlem3  20644  dchrvmasumiflem1  20646  dchrisum0flblem1  20653  dchrisum0lem2a  20662  mudivsum  20675  mulogsumlem  20676  mulog2sumlem2  20680  selberglem2  20691  selberg3lem2  20703  pntrsumbnd  20711  pntrlog2bndlem1  20722  pntrlog2bndlem2  20723  pntrlog2bndlem3  20724  pntrlog2bndlem5  20726  pntrlog2bndlem6  20728  pntrlog2bnd  20729  pntleml  20756  smcnlem  21264  nmoub3i  21345  nmfnge0  22503  dvreasin  24333  areacirclem2  24335  areacirclem3  24336  areacirclem4  24337  areacirclem5  24339  areacirclem6  24340  areacirc  24341  trirn  25874  cntotbnd  25931  rrndstprj1  25965  rrndstprj2  25966  ismrer1  25973  pell14qrgt0  26355  dvconstbi  26962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717
  Copyright terms: Public domain W3C validator