MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Unicode version

Theorem absge0d 12238
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 12084 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   CCcc 8980   0cc0 8982    <_ cle 9113   abscabs 12031
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12311  mulcn2  12381  o1mul  12400  o1rlimmul  12404  o1fsum  12584  cvgcmpce  12589  explecnv  12636  cvgrat  12652  mertenslem1  12653  mertenslem2  12654  efcllem  12672  eftlub  12702  sqnprm  13090  gzrngunitlem  16755  blcvx  18821  cnheibor  18972  cphsqrcl2  19141  ipcau2  19183  mbfi1fseqlem6  19604  iblabs  19712  iblabsr  19713  iblmulc2  19714  itgabs  19718  bddmulibl  19722  itgcn  19726  dvlip  19869  dvlipcn  19870  dveq0  19876  dv11cn  19877  plyeq0lem  20121  aalioulem3  20243  mtest  20312  radcnvlem1  20321  radcnvlem2  20322  radcnvlt1  20326  dvradcnv  20329  pserulm  20330  psercnlem2  20332  psercnlem1  20333  pserdvlem1  20335  pserdv  20337  abelthlem5  20343  abelthlem7  20346  abelthlem8  20347  tanregt0  20433  efif1olem3  20438  argregt0  20497  argrege0  20498  logtayllem  20542  logtayl  20543  abscxpbnd  20629  efrlim  20800  rlimcxp  20804  ftalem1  20847  ftalem4  20850  ftalem5  20851  lgsdirprm  21105  lgsdilem2  21107  lgsne0  21109  2sqblem  21153  dchrisumlem2  21176  dchrmusum2  21180  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumlem3  21185  dchrvmasumiflem1  21187  dchrisum0flblem1  21194  dchrisum0lem2a  21203  mudivsum  21216  mulogsumlem  21217  mulog2sumlem2  21221  selberglem2  21232  selberg3lem2  21244  pntrsumbnd  21252  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  pntrlog2bnd  21270  pntleml  21297  smcnlem  22185  nmoub3i  22266  nmfnge0  23422  sqsscirc2  24299  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamgulmlem5  24809  lgamcvg2  24831  mblfinlem  26234  iblabsnc  26259  iblmulc2nc  26260  itgabsnc  26264  bddiblnc  26265  ftc1anclem2  26271  ftc1anclem4  26273  ftc1anclem5  26274  ftc1anclem6  26275  ftc1anclem7  26276  ftc1anclem8  26277  ftc1anc  26278  ftc2nc  26279  dvreasin  26280  areacirclem2  26282  areacirclem3  26283  areacirclem4  26284  areacirclem5  26286  areacirclem6  26287  areacirc  26288  trirn  26448  cntotbnd  26496  rrndstprj1  26530  rrndstprj2  26531  ismrer1  26538  pell14qrgt0  26913  dvconstbi  27519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
  Copyright terms: Public domain W3C validator