MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 11928
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 absge0 11774 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   CCcc 8737   0cc0 8739    <_ cle 8870   abscabs 11721
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12001  mulcn2  12071  o1mul  12090  o1rlimmul  12094  o1fsum  12273  cvgcmpce  12278  explecnv  12325  cvgrat  12341  mertenslem1  12342  mertenslem2  12343  efcllem  12361  eftlub  12391  sqnprm  12779  gzrngunitlem  16438  blcvx  18306  cnheibor  18455  cphsqrcl2  18624  ipcau2  18666  mbfi1fseqlem6  19077  iblabs  19185  iblabsr  19186  iblmulc2  19187  itgabs  19191  bddmulibl  19195  itgcn  19199  dvlip  19342  dvlipcn  19343  dveq0  19349  dv11cn  19350  plyeq0lem  19594  aalioulem3  19716  mtest  19783  radcnvlem1  19791  radcnvlem2  19792  radcnvlt1  19796  dvradcnv  19799  pserulm  19800  psercnlem2  19802  psercnlem1  19803  pserdvlem1  19805  pserdv  19807  abelthlem5  19813  abelthlem7  19816  abelthlem8  19817  tanregt0  19903  efif1olem3  19908  argregt0  19966  argrege0  19967  logtayllem  20008  logtayl  20009  abscxpbnd  20095  efrlim  20266  rlimcxp  20270  ftalem1  20312  ftalem4  20315  ftalem5  20316  lgsdirprm  20570  lgsdilem2  20572  lgsne0  20574  2sqblem  20618  dchrisumlem2  20641  dchrmusum2  20645  dchrvmasumlem2  20649  dchrvmasumlem3  20650  dchrvmasumiflem1  20652  dchrisum0flblem1  20659  dchrisum0lem2a  20668  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  mulog2sumlem2  20686  selberglem2  20697  selberg3lem2  20709  pntrsumbnd  20717  pntrlog2bndlem1  20728  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem5  20732  pntrlog2bndlem6  20734  pntrlog2bnd  20735  pntleml  20762  smcnlem  21272  nmoub3i  21353  nmfnge0  22509  sqsscirc2  23295  dvreasin  24925  areacirclem2  24936  areacirclem3  24937  areacirclem4  24938  areacirclem5  24940  areacirclem6  24941  areacirc  24942  trirn  26474  cntotbnd  26531  rrndstprj1  26565  rrndstprj2  26566  ismrer1  26573  pell14qrgt0  26955  dvconstbi  27562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator