MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absimle Unicode version

Theorem absimle 11796
Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absimle  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  <_ 
( abs `  A
) )

Proof of Theorem absimle
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8798 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
21negcli 9116 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
32a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u _i  e.  CC )
4 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
53, 4mulcld 8857 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
6 absrele 11795 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )  <_  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )  <_ 
( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
8 imre 11595 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
98fveq2d 5531 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
10 absmul 11781 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) ) )
112, 10mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) ) )
12 absneg 11764 . . . . . . 7  |-  ( _i  e.  CC  ->  ( abs `  -u _i )  =  ( abs `  _i ) )
131, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u _i )  =  ( abs `  _i )
14 absi 11773 . . . . . 6  |-  ( abs `  _i )  =  1
1513, 14eqtri 2305 . . . . 5  |-  ( abs `  -u _i )  =  1
1615oveq1i 5870 . . . 4  |-  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
17 abscl 11765 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1817recnd 8863 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
1918mulid2d 8855 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2016, 19syl5eq 2329 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2111, 20eqtr2d 2318 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
227, 9, 213brtr4d 4055 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  <_ 
( abs `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   1c1 8740   _ici 8741    x. cmul 8744    <_ cle 8870   -ucneg 9040   Recre 11584   Imcim 11585   abscabs 11721
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12056  imcn2  12077  caucvgr  12150  sin01bnd  12467  recld2  18322  cnheiborlem  18454  aaliou2b  19723  efif1olem3  19908  logcnlem3  19993  logcnlem4  19994  efopnlem1  20005  abscxpbnd  20095  cntotbnd  26531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator