Theorem abslem2i 6845

Description: Lemma involving absolute values.

Hypotheses

Ref	Expression
abslem2.1	|- A e. CC
abslem2i.2	|- A =/= 0

Assertion

Ref	Expression
abslem2i	|- (((*` (A / (abs` A))) x. A) + ((A / (abs` A)) x. (*` A))) = (2 x. (abs` A))

Proof of Theorem abslem2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abslem2.1	. . . . 5 |- A e. CC
2	1	abscl 6774	. . . 4 |- (abs` A) e. RR
3	2	recn 5286	. . 3 |- (abs` A) e. CC
4	3	2times 5950	. 2 |- (2 x. (abs` A)) = ((abs` A) + (abs` A))
5	3	cjreb 6716	. . . . . 6 |- ((abs` A) e. RR <-> (*` (abs` A)) = (abs` A))
6	2, 5	mpbi 189	. . . . 5 |- (*` (abs` A)) = (abs` A)
7	3	sqval 6544	. . . . . . . . 9 |- ((abs` A)^2) = ((abs` A) x. (abs` A))
8	1	absvalsq 6772	. . . . . . . . 9 |- ((abs` A)^2) = (A x. (*` A))
9	7, 8	eqtr3 1489	. . . . . . . 8 |- ((abs` A) x. (abs` A)) = (A x. (*` A))
10	9	opreq1i 3956	. . . . . . 7 |- (((abs` A) x. (abs` A)) / (abs` A)) = ((A x. (*` A)) / (abs` A))
11		abslem2i.2	. . . . . . . . 9 |- A =/= 0
12	1	abs00 6777	. . . . . . . . . 10 |- ((abs` A) = 0 <-> A = 0)
13	12	necon3bii 1590	. . . . . . . . 9 |- ((abs` A) =/= 0 <-> A =/= 0)
14	11, 13	mpbir 190	. . . . . . . 8 |- (abs` A) =/= 0
15	3, 3, 14	divcan4 5715	. . . . . . 7 |- (((abs` A) x. (abs` A)) / (abs` A)) = (abs` A)
16	1	cjcl 6699	. . . . . . . 8 |- (*` A) e. CC
17	1, 16, 3, 14	div23 5711	. . . . . . 7 |- ((A x. (*` A)) / (abs` A)) = ((A / (abs` A)) x. (*` A))
18	10, 15, 17	3eqtr3 1495	. . . . . 6 |- (abs` A) = ((A / (abs` A)) x. (*` A))
19	18	fveq2i 3712	. . . . 5 |- (*` (abs` A)) = (*` ((A / (abs` A)) x. (*` A)))
20	6, 19	eqtr3 1489	. . . 4 |- (abs` A) = (*` ((A / (abs` A)) x. (*` A)))
21	1, 3, 14	divcl 5679	. . . . 5 |- (A / (abs` A)) e. CC
22	21, 16	cjmul 6724	. . . 4 |- (*` ((A / (abs` A)) x. (*` A))) = ((*` (A / (abs` A))) x. (*` (*` A)))
23	1	cjcj 6713	. . . . 5 |- (*` (*` A)) = A
24	23	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((*` (A / (abs` A))) x. (*` (*` A))) = ((*` (A / (abs` A))) x. A)
25	20, 22, 24	3eqtr 1491	. . 3 |- (abs` A) = ((*` (A / (abs` A))) x. A)
26	25, 18	opreq12i 3958	. 2 |- ((abs` A) + (abs` A)) = (((*` (A / (abs` A))) x. A) + ((A / (abs` A)) x. (*` A)))
27	4, 26	eqtr2 1488	1 |- (((*` (A / (abs` A))) x. A) + ((A / (abs` A)) x. (*` A))) = (2 x. (abs` A))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  2c2 5908  ^cexp 6500  *ccj 6680  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  abslem2 6846

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain