MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 12261
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12104 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993    x. cmul 9000   abscabs 12044
This theorem is referenced by:  mulcn2  12394  reccn2  12395  o1mul  12413  o1rlimmul  12417  iseraltlem3  12482  geomulcvg  12658  mertenslem1  12666  absef  12803  efieq1re  12805  mulgcddvds  13109  prmirredlem  16778  blcvx  18834  iblmulc2  19725  itgabs  19729  bddmulibl  19733  dveflem  19868  dvlip  19882  dvlipcn  19883  plyeq0lem  20134  aalioulem4  20257  radcnvlem1  20334  dvradcnv  20342  pserulm  20343  abelthlem5  20356  abelthlem7  20359  abslogle  20518  logtayllem  20555  abscxpbnd  20642  chordthmlem4  20681  divsqrsumo1  20827  ftalem1  20860  ftalem2  20861  ftalem5  20864  logexprlim  21014  lgsdilem2  21120  2sqlem3  21155  dchrisumlem2  21189  dchrmusum2  21193  dchrvmasumlem3  21198  dchrvmasumiflem1  21200  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  mudivsum  21229  mulogsumlem  21230  mulog2sumlem1  21233  mulog2sumlem2  21234  2vmadivsumlem  21239  selberglem2  21245  selberg3lem1  21256  selberg4lem1  21259  pntrlog2bndlem1  21276  pntrlog2bndlem3  21278  pntibndlem2  21290  pntlemn  21299  pntlemj  21302  nmbdfnlbi  23557  nmcfnlbi  23560  lgamgulmlem2  24819  lgamgulmlem3  24820  lgamgulmlem5  24822  subfaclim  24879  fprodabs  25302  iblmulc2nc  26284  itgabsnc  26288  cntotbnd  26519  irrapxlem2  26900  irrapxlem5  26903  pellexlem2  26907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046
  Copyright terms: Public domain W3C validator