MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Unicode version

Theorem absmuld 12176
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12019 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914    x. cmul 8921   abscabs 11959
This theorem is referenced by:  mulcn2  12309  reccn2  12310  o1mul  12328  o1rlimmul  12332  iseraltlem3  12397  geomulcvg  12573  mertenslem1  12581  absef  12718  efieq1re  12720  mulgcddvds  13024  prmirredlem  16689  blcvx  18693  iblmulc2  19582  itgabs  19586  bddmulibl  19590  dveflem  19723  dvlip  19737  dvlipcn  19738  plyeq0lem  19989  aalioulem4  20112  radcnvlem1  20189  dvradcnv  20197  pserulm  20198  abelthlem5  20211  abelthlem7  20214  abslogle  20373  logtayllem  20410  abscxpbnd  20497  chordthmlem4  20536  divsqrsumo1  20682  ftalem1  20715  ftalem2  20716  ftalem5  20719  logexprlim  20869  lgsdilem2  20975  2sqlem3  21010  dchrisumlem2  21044  dchrmusum2  21048  dchrvmasumlem3  21053  dchrvmasumiflem1  21055  dchrisum0lem2a  21071  dchrisum0lem2  21072  mudivsum  21084  mulogsumlem  21085  mulog2sumlem1  21088  mulog2sumlem2  21089  2vmadivsumlem  21094  selberglem2  21100  selberg3lem1  21111  selberg4lem1  21114  pntrlog2bndlem1  21131  pntrlog2bndlem3  21133  pntibndlem2  21145  pntlemn  21154  pntlemj  21157  nmbdfnlbi  23393  nmcfnlbi  23396  lgamgulmlem2  24586  lgamgulmlem3  24587  lgamgulmlem5  24589  subfaclim  24646  fprodabs  25069  iblmulc2nc  25963  itgabsnc  25967  cntotbnd  26189  irrapxlem2  26570  irrapxlem5  26573  pellexlem2  26577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961
  Copyright terms: Public domain W3C validator