MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnid Unicode version

Theorem absnid 11785
Description: A negative number is the negative of its own absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absnid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)

Proof of Theorem absnid
StepHypRef Expression
1 le0neg1 9284 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2 recn 8829 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 absneg 11764 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
6 renegcl 9112 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
7 absid 11783 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
86, 7sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  -u A
)  =  -u A
)
95, 8eqtr3d 2319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
109ex 423 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  -u A  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
111, 10sylbid 206 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  ->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
1211imp 418 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739    <_ cle 8870   -ucneg 9040   abscabs 11721
This theorem is referenced by:  absor  11787  max0add  11797  sqreulem  11845  absnidi  11864  absnidd  11898  oddcomabszz  27040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator