MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnid Unicode version

Theorem absnid 12086
Description: A negative number is the negative of its own absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
absnid  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)

Proof of Theorem absnid
StepHypRef Expression
1 le0neg1 9520 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2 recn 9064 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 absneg 12065 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
6 renegcl 9348 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
7 absid 12084 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
86, 7sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  -u A
)  =  -u A
)
95, 8eqtr3d 2464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
109ex 424 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  -u A  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
111, 10sylbid 207 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  ->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
1211imp 419 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974    <_ cle 9105   -ucneg 9276   abscabs 12022
This theorem is referenced by:  absor  12088  max0add  12098  sqreulem  12146  absnidi  12165  absnidd  12199  oddcomabszz  26939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024
  Copyright terms: Public domain W3C validator