MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absreim Unicode version

Theorem absreim 12018
Description: Absolute value of a number that has been decomposed into real and imaginary parts. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absreim  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )

Proof of Theorem absreim
StepHypRef Expression
1 recn 9006 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 ax-icn 8975 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
3 recn 9006 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
4 mulcl 9000 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 645 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  (
_i  x.  B )  e.  CC )
6 addcl 8998 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B
) )  e.  CC )
71, 5, 6syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
8 abscl 12003 . . . 4  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  e.  RR )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
10 absge0 12012 . . . 4  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
117, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
12 sqrsq 11995 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
139, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
14 absreimsq 12017 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
1514fveq2d 5665 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sqr `  (
( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
1613, 15eqtr3d 2414 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   _ici 8918    + caddc 8919    x. cmul 8921    <_ cle 9047   2c2 9974   ^cexp 11302   sqrcsqr 11958   abscabs 11959
This theorem is referenced by:  absefi  12717  ipidsq  22050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961
  Copyright terms: Public domain W3C validator