Theorem absrpclt 6851

Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absrpclt	|- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR+)

Proof of Theorem absrpclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absclt 6829	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
2	1	adantr 389	. . 3 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR)
3		absge0t 6850	. . . . 5 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
4		0re 5437	. . . . . 6 |- 0 e. RR
5		leltnet 5518	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ (abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> (abs` A) =/= 0))
6	5, 1	syl3an2 860	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> (abs` A) =/= 0))
7		abs00t 6849	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
8	7	3ad2ant2 801	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
9	8	necon3bid 1601	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> ((abs` A) =/= 0 <-> A =/= 0))
10	6, 9	bitrd 528	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> A =/= 0))
11	10	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))
12	11	3exp 832	. . . . . . 7 |- (0 e. RR -> (A e. CC -> (0 <_ (abs` A) -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))))
13	12	com23 32	. . . . . 6 |- (0 e. RR -> (0 <_ (abs` A) -> (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))))
14	4, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (0 <_ (abs` A) -> (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A))))
15	3, 14	mpcom 49	. . . 4 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))
16	15	imp 350	. . 3 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> 0 < (abs` A))
17	2, 16	jca 288	. 2 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
18		elrp 6279	. 2 |- ((abs` A) e. RR+ <-> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
19	17, 18	sylibr 200	1 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR+)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  CCcc 5229  RRcr 5230  0cc0 5231   <_ cle 5292  RR+crp 5297   < clt 5483  abscabs 6747

This theorem is referenced by:  dmse1 10576  iintlem1 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4622

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4571  df-ni 4997  df-pli 4998  df-mi 4999  df-lti 5000  df-plpq 5032  df-mpq 5033  df-enq 5034  df-nq 5035  df-plq 5036  df-mq 5037  df-rq 5038  df-ltq 5039  df-1q 5040  df-np 5083  df-1p 5084  df-plp 5085  df-mp 5086  df-ltp 5087  df-plpr 5161  df-mpr 5162  df-enr 5163  df-nr 5164  df-plr 5165  df-mr 5166  df-ltr 5167  df-0r 5168  df-1r 5169  df-m1r 5170  df-c 5237  df-0 5238  df-1 5239  df-i 5240  df-r 5241  df-plus 5242  df-mul 5243  df-lt 5244  df-sub 5353  df-neg 5355  df-pnf 5484  df-mnf 5485  df-xr 5486  df-ltxr 5487  df-le 5488  df-div 5700  df-n 5922  df-2 5967  df-n0 6097  df-z 6133  df-rp 6278  df-seq1 6305  df-exp 6566  df-sqr 6667  df-re 6748  df-im 6749  df-cj 6750  df-abs 6751

Copyright terms: Public domain