MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssub Structured version   Unicode version

Theorem abssub 12132
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. (Contributed by NM, 1-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abssub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem abssub
StepHypRef Expression
1 subcl 9307 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2 absneg 12084 . . 3  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A  -  B ) )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  -u ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
4 negsubdi2 9362 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )
54fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  -u ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
63, 5eqtr3d 2472 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990    - cmin 9293   -ucneg 9294   abscabs 12041
This theorem is referenced by:  abssuble0  12134  abs2difabs  12140  fzomaxdif  12149  cau3  12161  abssubi  12208  abssubd  12257  4sqlem11  13325  cnmet  18808  cnbl0  18810  cnblcld  18811  bl2ioo  18825  addcnlem  18896  divcn  18900  cncmet  19277  volcn  19500  c1lip1  19883  lhop1lem  19899  psercn  20344  abelthlem2  20350  abelth  20359  hhcnf  23410  qqhucn  24378  ftc1anc  26290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-abs 12043
  Copyright terms: Public domain W3C validator