MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Unicode version

Theorem abssubd 12293
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abssubd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 abssub 12168 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1654    e. wcel 1728   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026    - cmin 9329   abscabs 12077
This theorem is referenced by:  rlimuni  12382  climuni  12384  2clim  12404  rlimrecl  12412  subcn2  12426  reccn2  12428  climcau  12502  caucvgrlem  12504  serf0  12512  mertenslem2  12700  xrsxmet  18878  elcncf2  18958  cnllycmp  19019  dvlip  19915  c1lip1  19919  dvfsumrlim2  19954  dvfsum2  19956  ftc1a  19959  aalioulem3  20289  ulmcaulem  20348  ulmcau  20349  ulmbdd  20352  ulmcn  20353  ulmdvlem1  20354  logcnlem4  20574  ssscongptld  20704  chordthmlem3  20713  chordthmlem4  20714  ftalem2  20894  logfacrlim  21046  dchrisumlem3  21223  dchrisum0lem1b  21247  mulog2sumlem2  21267  pntrlog2bndlem3  21311  smcnlem  22231  lgamucov  24857  ftc1anclem8  26329  irrapxlem3  26999  irrapxlem5  27001  pell14qrgt0  27034  acongeq  27160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-2 10096  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-abs 12079
  Copyright terms: Public domain W3C validator