MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubne0 Structured version   Unicode version

Theorem abssubne0 12158
Description: If the absolute value of a complex number is less than a real, its difference from the real is nonzero. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abssubne0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  < 
B )  ->  ( B  -  A )  =/=  0 )

Proof of Theorem abssubne0
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  B  e.  RR )
21recnd 9152 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  B  e.  CC )
3 simpll 732 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 12121 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 abscl 12121 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
8 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( abs `  A
)  <  B )
9 leabs 12142 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  ( abs `  B
) )
101, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  B  <_  ( abs `  B ) )
115, 1, 7, 8, 10ltletrd 9268 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( abs `  A
)  <  ( abs `  B ) )
125, 11gtned 9246 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( abs `  B
)  =/=  ( abs `  A ) )
13 fveq2 5763 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  A
) )
1413necon3i 2650 . . . 4  |-  ( ( abs `  B )  =/=  ( abs `  A
)  ->  B  =/=  A )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  B  =/=  A )
162, 3, 15subne0d 9458 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <  B )  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
17163impa 1149 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  < 
B )  ->  ( B  -  A )  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1728    =/= wne 2606   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   0cc0 9028    < clt 9158    <_ cle 9159    - cmin 9329   abscabs 12077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079
  Copyright terms: Public domain W3C validator