Theorem abssubt 6859

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value.

Assertion

Ref	Expression
abssubt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A - B)) = (abs` (B - A)))

Proof of Theorem abssubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3965	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
2	1	fveq2d 3725	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` (A - B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) - B)))
3		opreq2 3966	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (B - A) = (B - if(A e. CC, A, 0)))
4	3	fveq2d 3725	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (abs` (B - A)) = (abs` (B - if(A e. CC, A, 0))))
5	2, 4	eqeq12d 1488	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((abs` (A - B)) = (abs` (B - A)) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) - B)) = (abs` (B - if(A e. CC, A, 0)))))
6		opreq2 3966	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
7	6	fveq2d 3725	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` (if(A e. CC, A, 0) - B)) = (abs` (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))))
8		opreq1 3965	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B - if(A e. CC, A, 0)) = (if(B e. CC, B, 0) - if(A e. CC, A, 0)))
9	8	fveq2d 3725	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (abs` (B - if(A e. CC, A, 0))) = (abs` (if(B e. CC, B, 0) - if(A e. CC, A, 0))))
10	7, 9	eqeq12d 1488	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((abs` (if(A e. CC, A, 0) - B)) = (abs` (B - if(A e. CC, A, 0))) <-> (abs` (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))) = (abs` (if(B e. CC, B, 0) - if(A e. CC, A, 0)))))
11		0cn 5315	. . . 4 |- 0 e. CC
12	11	elimel 2392	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
13	11	elimel 2392	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
14	12, 13	abssub 6808	. 2 |- (abs` (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0))) = (abs` (if(B e. CC, B, 0) - if(A e. CC, A, 0)))
15	5, 10, 14	dedth2h 2385	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (abs` (A - B)) = (abs` (B - A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2359  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221   - cmin 5279  abscabs 6702

This theorem is referenced by:  abssuble0t 6861  abs2difabst 6868  climunii 7066  climsup 7124  climcau 7125  caucvg 7132  serzf0 7140  ser1f0 7141  negfcncf 7240  ivthlem1 7252  ivthlem6 7257  ivthlem7 7258  ivthlem6OLD 7266  ivthlem7OLD 7267  cnmet 7887  bl2ioo 7894  cncms 7981  mslb1 10580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706

Copyright terms: Public domain