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Theorem abstri 12061
Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abstri  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem abstri
StepHypRef Expression
1 2re 10001 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR )
3 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54cjcld 11928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
63, 5mulcld 9041 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
* `  B )
)  e.  CC )
76recld 11926 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  e.  RR )
82, 7remulcld 9049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  e.  RR )
9 abscl 12010 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
103, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
11 abscl 12010 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
124, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
1310, 12remulcld 9049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
142, 13remulcld 9049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  RR )
1510resqcld 11476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1612resqcld 11476 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  RR )
1715, 16readdcld 9048 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  RR )
18 releabs 12052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  x.  ( * `
 B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
196, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
20 absmul 12026 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
213, 5, 20syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
22 abscj 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( * `  B ) )  =  ( abs `  B
) )
234, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
* `  B )
)  =  ( abs `  B ) )
2423oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( * `  B
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )
2521, 24eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
2619, 25breqtrd 4177 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
27 2rp 10549 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR+ )
297, 13, 28lemul2d 10620 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  <->  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) )  <_ 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) ) )
3026, 29mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )
318, 14, 17, 30leadd2dd 9573 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) ) )  <_  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
32 sqabsadd 12014 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) ) ) )
3310recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
3412recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  CC )
35 binom2 11423 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  B )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3715recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
3814recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  CC )
3916recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  CC )
4037, 38, 39add32d 9220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4136, 40eqtrd 2419 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4231, 32, 413brtr4d 4183 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  <_  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) ^ 2 ) )
43 addcl 9005 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
44 abscl 12010 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  +  B ) )  e.  RR )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  e.  RR )
4610, 12readdcld 9048 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) )  e.  RR )
47 absge0 12019 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B )
) )
4843, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B
) ) )
49 absge0 12019 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
503, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
51 absge0 12019 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
524, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  B ) )
5310, 12, 50, 52addge0d 9534 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
5445, 46, 48, 53le2sqd 11485 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( A  +  B ) ) ^
2 )  <_  (
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) ) ^
2 ) ) )
5542, 54mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926    x. cmul 8928    <_ cle 9054   2c2 9981   RR+crp 10544   ^cexp 11309   *ccj 11828   Recre 11829   abscabs 11966
This theorem is referenced by:  abs3dif  12062  abs2dif2  12064  abstrii  12138  abstrid  12185  absabv  16679  cnnv  22016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968
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