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Theorem abstri 11816
Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abstri  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem abstri
StepHypRef Expression
1 2re 9817 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR )
3 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54cjcld 11683 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  B
)  e.  CC )
63, 5mulcld 8857 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
* `  B )
)  e.  CC )
76recld 11681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  e.  RR )
82, 7remulcld 8865 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  e.  RR )
9 abscl 11765 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
103, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
11 abscl 11765 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
124, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
1310, 12remulcld 8865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
142, 13remulcld 8865 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  RR )
1510resqcld 11273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
1612resqcld 11273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  RR )
1715, 16readdcld 8864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  RR )
18 releabs 11807 . . . . . . 7  |-  ( ( A  x.  ( * `
 B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
196, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) ) )
20 absmul 11781 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
213, 5, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( * `  B ) ) ) )
22 abscj 11766 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( * `  B ) )  =  ( abs `  B
) )
234, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
* `  B )
)  =  ( abs `  B ) )
2423oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( * `  B
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )
2521, 24eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
2619, 25breqtrd 4049 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B ) ) )
27 2rp 10361 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  RR+ )
297, 13, 28lemul2d 10432 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  <_  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) )  <->  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) )  <_ 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) ) )
3026, 29mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )
318, 14, 17, 30leadd2dd 9389 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) ) ) )  <_  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
32 sqabsadd 11769 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( A  x.  ( * `  B
) ) ) ) ) )
3310recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
3412recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  B
)  e.  CC )
35 binom2 11220 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  B )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3633, 34, 35syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
3715recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
3814recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) )  e.  CC )
3916recnd 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  e.  CC )
4037, 38, 39add32d 9036 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  B ) ) ) )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4136, 40eqtrd 2317 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) ) ) )
4231, 32, 413brtr4d 4055 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
) ^ 2 )  <_  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) ^ 2 ) )
43 addcl 8821 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
44 abscl 11765 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  +  B ) )  e.  RR )
4543, 44syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  e.  RR )
4610, 12readdcld 8864 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) )  e.  RR )
47 absge0 11774 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B )
) )
4843, 47syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  +  B
) ) )
49 absge0 11774 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
503, 49syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
51 absge0 11774 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
524, 51syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  B ) )
5310, 12, 50, 52addge0d 9350 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
5445, 46, 48, 53le2sqd 11282 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) )  <->  ( ( abs `  ( A  +  B ) ) ^
2 )  <_  (
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  B ) ) ^
2 ) ) )
5542, 54mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  +  B )
)  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739    + caddc 8742    x. cmul 8744    <_ cle 8870   2c2 9797   RR+crp 10356   ^cexp 11106   *ccj 11583   Recre 11584   abscabs 11721
This theorem is referenced by:  abs3dif  11817  abs2dif2  11819  abstrii  11893  abstrid  11940  absabv  16431  cnnv  21247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723
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