Theorem abstri 6891

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	|- A e. CC
abstri.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. CC
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
3	2	cjcl 6768	. . . . . . . 8 |- (*` B) e. CC
4	1, 3	mulcl 5333	. . . . . . 7 |- (A x. (*` B)) e. CC
5	4	releabs 6890	. . . . . 6 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ (abs` (A x. (*` B)))
6	1, 3	absmul 6847	. . . . . . 7 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` (*` B)))
7	2	abscj 6845	. . . . . . . 8 |- (abs` (*` B)) = (abs` B)
8	7	opreq2i 3978	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
9	6, 8	eqtr 1498	. . . . . 6 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
10	5, 9	breqtr 2643	. . . . 5 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B))
11		2pos 5991	. . . . . 6 |- 0 < 2
12	4	recl 6766	. . . . . . 7 |- (Re` (A x. (*` B))) e. RR
13	1	abscl 6839	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
14	2	abscl 6839	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
15	13, 14	remulcl 5347	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` B)) e. RR
16		2re 5981	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
17	12, 15, 16	lemul2 5838	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
19	10, 18	mpbi 189	. . . 4 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))
20	16, 12	remulcl 5347	. . . . 5 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) e. RR
21	16, 15	remulcl 5347	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. RR
22	13	resqcl 6624	. . . . . 6 |- ((abs` A)^2) e. RR
23	14	resqcl 6624	. . . . . 6 |- ((abs` B)^2) e. RR
24	22, 23	readdcl 5346	. . . . 5 |- (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) e. RR
25	20, 21, 24	leadd2 5605	. . . 4 |- ((2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) <-> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
26	19, 25	mpbi 189	. . 3 |- ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
27	1, 2	sqabsadd 6850	. . 3 |- ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
28	13	recn 5326	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
29	14	recn 5326	. . . . 5 |- (abs` B) e. CC
30	28, 29	binom2 6645	. . . 4 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2))
31	28	sqcl 6616	. . . . 5 |- ((abs` A)^2) e. CC
32	21	recn 5326	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. CC
33	29	sqcl 6616	. . . . 5 |- ((abs` B)^2) e. CC
34	31, 32, 33	add23 5353	. . . 4 |- ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2)) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
35	30, 34	eqtr 1498	. . 3 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2648	. 2 |- ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)
37	1, 2	addcl 5332	. . . 4 |- (A + B) e. CC
38	37	absge0 6840	. . 3 |- 0 <_ (abs` (A + B))
39	1	absge0 6840	. . . 4 |- 0 <_ (abs` A)
40	2	absge0 6840	. . . 4 |- 0 <_ (abs` B)
41	13, 14	addge0 5611	. . . 4 |- ((0 <_ (abs` A) /\ 0 <_ (abs` B)) -> 0 <_ ((abs` A) + (abs` B)))
42	39, 40, 41	mp2an 699	. . 3 |- 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))
43	37	abscl 6839	. . . 4 |- (abs` (A + B)) e. RR
44	13, 14	readdcl 5346	. . . 4 |- ((abs` A) + (abs` B)) e. RR
45	43, 44	le2sq 6626	. . 3 |- ((0 <_ (abs` (A + B)) /\ 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)))
46	38, 42, 45	mp2an 699	. 2 |- ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2))
47	36, 46	mpbir 190	1 |- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  ^cexp 6569  Recre 6748  *ccj 6750  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  abstrit 6898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain