MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Unicode version

Theorem absval 11688
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )

Proof of Theorem absval
StepHypRef Expression
1 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
* `  x )  =  ( * `  A ) )
2 oveq12 5801 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  ( * `  x
)  =  ( * `
 A ) )  ->  ( x  x.  ( * `  x
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) )
31, 2mpdan 652 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( * `
 x ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
43fveq2d 5462 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
5 df-abs 11686 . 2  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
6 fvex 5472 . 2  |-  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5536 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703    x. cmul 8710   *ccj 11546   sqrcsqr 11683   abscabs 11684
This theorem is referenced by:  absneg  11727  abscl  11728  abscj  11729  absvalsq  11730  absval2  11734  abs0  11735  absi  11736  absge0  11737  absrpcl  11738  absmul  11744  absid  11746  absre  11751  absf  11786  cphabscl  18583  tchcphlem2  18628  siii  21391  norm-iii-i  21678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-ov 5795  df-abs 11686
  Copyright terms: Public domain W3C validator