Theorem absvalt 6694

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
absvalt	|- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Proof of Theorem absvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
2		fveq2 3709	. . . 4 |- (x = A -> (*` x) = (*` A))
3	1, 2	opreq12d 3963	. . 3 |- (x = A -> (x x. (*` x)) = (A x. (*` A)))
4	3	fveq2d 3713	. 2 |- (x = A -> (sqr` (x x. (*` x))) = (sqr` (A x. (*` A))))
5		df-abs 6685	. 2 |- abs = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (sqr` (x x. (*` x))))}
6		fvex 3717	. 2 |- (sqr` (A x. (*` A))) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3765	1 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   x. cmul 5211  sqrcsqr 6599  *ccj 6680  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  absnegt 6767  absclt 6768  abscjt 6769  absvalsqt 6770  absge0 6775  absval2 6776  absmul 6782  absid 6796  absret 6801  absi 6815  absf 6843  siii 8444  norm-iii 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain