Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Unicode version

Theorem abvcxp 21340
 Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a AbsVal
abvcxp.b
abvcxp.f
Assertion
Ref Expression
abvcxp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 AbsVal
21a1i 11 . 2 AbsVal
3 abvcxp.b . . 3
43a1i 11 . 2
5 eqidd 2443 . 2
6 eqidd 2443 . 2
7 eqidd 2443 . 2
81abvrcl 15940 . . 3
101, 3abvcl 15943 . . . . 5
1110adantlr 697 . . . 4
121, 3abvge0 15944 . . . . 5
1312adantlr 697 . . . 4
14 simpr 449 . . . . . . 7
15 0xr 9162 . . . . . . . 8
16 1re 9121 . . . . . . . 8
17 elioc2 11004 . . . . . . . 8
1815, 16, 17mp2an 655 . . . . . . 7
1914, 18sylib 190 . . . . . 6
2019simp1d 970 . . . . 5
2120adantr 453 . . . 4
2211, 13, 21recxpcld 20645 . . 3
23 abvcxp.f . . 3
2422, 23fmptd 5922 . 2
25 eqid 2442 . . . . . 6
263, 25rng0cl 15716 . . . . 5
279, 26syl 16 . . . 4
28 fveq2 5757 . . . . . 6
2928oveq1d 6125 . . . . 5
30 ovex 6135 . . . . 5
3129, 23, 30fvmpt 5835 . . . 4
3227, 31syl 16 . . 3
331, 25abv0 15950 . . . . . 6
3433adantr 453 . . . . 5
3534oveq1d 6125 . . . 4
3620recnd 9145 . . . . 5
3719simp2d 971 . . . . . 6
3837gt0ne0d 9622 . . . . 5
3936, 380cxpd 20632 . . . 4
4035, 39eqtrd 2474 . . 3
4132, 40eqtrd 2474 . 2
42 simp1l 982 . . . . . . 7
43 simp2 959 . . . . . . 7
441, 3abvcl 15943 . . . . . . 7
4542, 43, 44syl2anc 644 . . . . . 6
461, 3, 25abvgt0 15947 . . . . . . 7
47463adant1r 1178 . . . . . 6
4845, 47elrpd 10677 . . . . 5
49203ad2ant1 979 . . . . 5
5048, 49rpcxpcld 20652 . . . 4
5150rpgt0d 10682 . . 3
52 fveq2 5757 . . . . . 6
5352oveq1d 6125 . . . . 5
54 ovex 6135 . . . . 5
5553, 23, 54fvmpt 5835 . . . 4
5643, 55syl 16 . . 3
5751, 56breqtrrd 4263 . 2
58 simp1l 982 . . . . . 6
59 simp2l 984 . . . . . 6
60 simp3l 986 . . . . . 6
61 eqid 2442 . . . . . . 7
621, 3, 61abvmul 15948 . . . . . 6
6358, 59, 60, 62syl3anc 1185 . . . . 5
6463oveq1d 6125 . . . 4
6558, 59, 44syl2anc 644 . . . . 5
661, 3abvge0 15944 . . . . . 6
6758, 59, 66syl2anc 644 . . . . 5
681, 3abvcl 15943 . . . . . 6
6958, 60, 68syl2anc 644 . . . . 5
701, 3abvge0 15944 . . . . . 6
7158, 60, 70syl2anc 644 . . . . 5
72363ad2ant1 979 . . . . 5
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 20650 . . . 4
7464, 73eqtrd 2474 . . 3
7593ad2ant1 979 . . . . 5
763, 61rngcl 15708 . . . . 5
7775, 59, 60, 76syl3anc 1185 . . . 4
78 fveq2 5757 . . . . . 6
7978oveq1d 6125 . . . . 5
80 ovex 6135 . . . . 5
8179, 23, 80fvmpt 5835 . . . 4
8277, 81syl 16 . . 3
8359, 55syl 16 . . . 4
84 fveq2 5757 . . . . . . 7
8584oveq1d 6125 . . . . . 6
86 ovex 6135 . . . . . 6
8785, 23, 86fvmpt 5835 . . . . 5
8860, 87syl 16 . . . 4
8983, 88oveq12d 6128 . . 3
9074, 82, 893eqtr4d 2484 . 2
91 rnggrp 15700 . . . . . . . 8
9275, 91syl 16 . . . . . . 7
93 eqid 2442 . . . . . . . 8
943, 93grpcl 14849 . . . . . . 7
9592, 59, 60, 94syl3anc 1185 . . . . . 6
961, 3abvcl 15943 . . . . . 6
9758, 95, 96syl2anc 644 . . . . 5
981, 3abvge0 15944 . . . . . 6
9958, 95, 98syl2anc 644 . . . . 5
100193ad2ant1 979 . . . . . 6
101100simp1d 970 . . . . 5
10297, 99, 101recxpcld 20645 . . . 4
10365, 69readdcld 9146 . . . . 5
10465, 69, 67, 71addge0d 9633 . . . . 5
105103, 104, 101recxpcld 20645 . . . 4
10665, 67, 101recxpcld 20645 . . . . 5
10769, 71, 101recxpcld 20645 . . . . 5
108106, 107readdcld 9146 . . . 4
1091, 3, 93abvtri 15949 . . . . . 6
11058, 59, 60, 109syl3anc 1185 . . . . 5
111100simp2d 971 . . . . . . 7
112101, 111elrpd 10677 . . . . . 6
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 20649 . . . . 5
114110, 113mpbid 203 . . . 4
115100simp3d 972 . . . . 5
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 20667 . . . 4
117102, 105, 108, 114, 116letrd 9258 . . 3
118 fveq2 5757 . . . . . 6
119118oveq1d 6125 . . . . 5
120 ovex 6135 . . . . 5
121119, 23, 120fvmpt 5835 . . . 4
12295, 121syl 16 . . 3
12383, 88oveq12d 6128 . . 3
124117, 122, 1233brtr4d 4267 . 2
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 15939 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605   class class class wbr 4237   cmpt 4291  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026  cxr 9150   clt 9151   cle 9152  cioc 10948  cbs 13500   cplusg 13560  cmulr 13561  c0g 13754  cgrp 14716  crg 15691  AbsValcabv 15935   ccxp 20484 This theorem is referenced by:  ostth2  21362  ostth  21364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-abv 15936  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785  df-log 20485  df-cxp 20486
 Copyright terms: Public domain W3C validator