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Theorem abvcxp 21297
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvcxp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvcxp.f  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
Assertion
Ref Expression
abvcxp  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
3 abvcxp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
43a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
5 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
6 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  R ) )
7 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
81abvrcl 15897 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  R  e.  Ring )
101, 3abvcl 15900 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
1110adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
121, 3abvge0 15901 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
1312adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
14 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )
15 0xr 9120 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
16 1re 9079 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 elioc2 10962 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) ) )
1815, 16, 17mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
1914, 18sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
2019simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  RR )
2120adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  RR )
2211, 13, 21recxpcld 20602 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  e.  RR )
23 abvcxp.f . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
2422, 23fmptd 5884 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G : B --> RR )
25 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
263, 25rng0cl 15673 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
279, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
28 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
2928oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
30 ovex 6097 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S )  e.  _V
3129, 23, 30fvmpt 5797 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  B  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g `  R ) )  ^ c  S
) )
3227, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
331, 25abv0 15907 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3433adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3534oveq1d 6087 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  ( 0  ^ c  S
) )
3620recnd 9103 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  CC )
3719simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  0  <  S
)
3837gt0ne0d 9580 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  =/=  0
)
3936, 380cxpd 20589 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0  ^ c  S )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  0 )
4132, 40eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
42 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  F  e.  A )
43 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  y  e.  B )
441, 3abvcl 15900 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
461, 3, 25abvgt0 15904 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
0  <  ( F `  y ) )
47463adant1r 1177 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( F `  y
) )
4845, 47elrpd 10635 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR+ )
49203ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  S  e.  RR )
5048, 49rpcxpcld 20609 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( F `  y
)  ^ c  S
)  e.  RR+ )
5150rpgt0d 10640 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
52 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
5352oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
54 ovex 6097 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  ^ c  S )  e.  _V
5553, 23, 54fvmpt 5797 . . . 4  |-  ( y  e.  B  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5643, 55syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5751, 56breqtrrd 4230 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( G `  y
) )
58 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  F  e.  A
)
59 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B
)
60 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  z  e.  B
)
61 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
621, 3, 61abvmul 15905 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
6463oveq1d 6087 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z )
)  ^ c  S
) )
6558, 59, 44syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
661, 3abvge0 15901 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
6758, 59, 66syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  y )
)
681, 3abvcl 15900 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
6958, 60, 68syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
701, 3abvge0 15901 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  z ) )
7158, 60, 70syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  z )
)
72363ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  CC )
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 20607 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7464, 73eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7593ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Ring )
763, 61rngcl 15665 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  B )
7775, 59, 60, 76syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( .r `  R ) z )  e.  B
)
78 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) ) )
7978oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
80 ovex 6097 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
8179, 23, 80fvmpt 5797 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y
( .r `  R
) z ) )  =  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S ) )
8277, 81syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S
) )
8359, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `  y
)  ^ c  S
) )
84 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
8584oveq1d 6087 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  z )  ^ c  S ) )
86 ovex 6097 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  ^ c  S )  e.  _V
8785, 23, 86fvmpt 5797 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )
8860, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) )
8983, 88oveq12d 6090 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  x.  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
9074, 82, 893eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( G `  y
)  x.  ( G `
 z ) ) )
91 rnggrp 15657 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
9275, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Grp )
93 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
943, 93grpcl 14806 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )
9592, 59, 60, 94syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B
)
961, 3abvcl 15900 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  e.  RR )
9758, 95, 96syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  e.  RR )
981, 3abvge0 15901 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
9958, 95, 98syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  ( y
( +g  `  R ) z ) ) )
100193ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
101100simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR )
10297, 99, 101recxpcld 20602 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10365, 69readdcld 9104 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  e.  RR )
10465, 69, 67, 71addge0d 9591 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
105103, 104, 101recxpcld 20602 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10665, 67, 101recxpcld 20602 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  ^ c  S )  e.  RR )
10769, 71, 101recxpcld 20602 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 z )  ^ c  S )  e.  RR )
108106, 107readdcld 9104 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )  e.  RR )
1091, 3, 93abvtri 15906 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  <_  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) ) )
11058, 59, 60, 109syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) ) )
111100simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <  S
)
112101, 111elrpd 10635 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR+ )
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 20606 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_ 
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  <->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) ) )
114110, 113mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) )
115100simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  <_  1
)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 20624 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
117102, 105, 108, 114, 116letrd 9216 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
118 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
119118oveq1d 6087 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
120 ovex 6097 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
121119, 23, 120fvmpt 5797 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  R
) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12295, 121syl 16 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12383, 88oveq12d 6090 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  +  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
124117, 122, 1233brtr4d 4234 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( G `  y )  +  ( G `  z ) ) )
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 15896 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110   (,]cioc 10906   Basecbs 13457   +g cplusg 13517   .rcmulr 13518   0gc0g 13711   Grpcgrp 14673   Ringcrg 15648  AbsValcabv 15892    ^ c ccxp 20441
This theorem is referenced by:  ostth2  21319  ostth  21321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-ef 12658  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-abv 15893  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443
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