MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Unicode version

Theorem abvcxp 20691
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvcxp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvcxp.f  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
Assertion
Ref Expression
abvcxp  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem abvcxp
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21a1i 12 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
3 abvcxp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
43a1i 12 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
5 eqidd 2257 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
6 eqidd 2257 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  R ) )
7 eqidd 2257 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
81abvrcl 15513 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  R  e.  Ring )
101, 3abvcl 15516 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
1110adantlr 698 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
121, 3abvge0 15517 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
1312adantlr 698 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
14 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )
15 0xr 8811 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
16 1re 8770 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 elioc2 10644 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) ) )
1815, 16, 17mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
1914, 18sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
2019simp1d 972 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  RR )
2120adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  RR )
2211, 13, 21recxpcld 19997 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  e.  RR )
23 abvcxp.f . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
2422, 23fmptd 5583 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G : B --> RR )
25 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
263, 25rng0cl 15289 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
279, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
28 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
2928oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
30 ovex 5782 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S )  e.  _V
3129, 23, 30fvmpt 5501 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  B  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g `  R ) )  ^ c  S
) )
3227, 31syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
331, 25abv0 15523 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3433adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3534oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  ( 0  ^ c  S
) )
3620recnd 8794 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  CC )
3719simp2d 973 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  0  <  S
)
3837gt0ne0d 9270 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  =/=  0
)
3936, 380cxpd 19984 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0  ^ c  S )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2288 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  0 )
4132, 40eqtrd 2288 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
42 simp1l 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  F  e.  A )
43 simp2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  y  e.  B )
441, 3abvcl 15516 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
4542, 43, 44syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
461, 3, 25abvgt0 15520 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
0  <  ( F `  y ) )
47463adant1r 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( F `  y
) )
4845, 47elrpd 10320 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR+ )
49203ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  S  e.  RR )
5048, 49rpcxpcld 20004 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( F `  y
)  ^ c  S
)  e.  RR+ )
5150rpgt0d 10325 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
52 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
5352oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
54 ovex 5782 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  ^ c  S )  e.  _V
5553, 23, 54fvmpt 5501 . . . 4  |-  ( y  e.  B  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5643, 55syl 17 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5751, 56breqtrrd 3989 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( G `  y
) )
58 simp1l 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  F  e.  A
)
59 simp2l 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B
)
60 simp3l 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  z  e.  B
)
61 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
621, 3, 61abvmul 15521 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
6463oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z )
)  ^ c  S
) )
6558, 59, 44syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
661, 3abvge0 15517 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
6758, 59, 66syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  y )
)
681, 3abvcl 15516 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
6958, 60, 68syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
701, 3abvge0 15517 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  z ) )
7158, 60, 70syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  z )
)
72363ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  CC )
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 20002 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7464, 73eqtrd 2288 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7593ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Ring )
763, 61rngcl 15281 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  B )
7775, 59, 60, 76syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( .r `  R ) z )  e.  B
)
78 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) ) )
7978oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
80 ovex 5782 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
8179, 23, 80fvmpt 5501 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y
( .r `  R
) z ) )  =  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S ) )
8277, 81syl 17 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S
) )
8359, 55syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `  y
)  ^ c  S
) )
84 fveq2 5423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
8584oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  z )  ^ c  S ) )
86 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  ^ c  S )  e.  _V
8785, 23, 86fvmpt 5501 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )
8860, 87syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) )
8983, 88oveq12d 5775 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  x.  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
9074, 82, 893eqtr4d 2298 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( G `  y
)  x.  ( G `
 z ) ) )
91 rnggrp 15273 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
9275, 91syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Grp )
93 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
943, 93grpcl 14422 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )
9592, 59, 60, 94syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B
)
961, 3abvcl 15516 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  e.  RR )
9758, 95, 96syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  e.  RR )
981, 3abvge0 15517 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
9958, 95, 98syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  ( y
( +g  `  R ) z ) ) )
100193ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
101100simp1d 972 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR )
10297, 99, 101recxpcld 19997 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10365, 69readdcld 8795 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  e.  RR )
10465, 69, 67, 71addge0d 9281 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
105103, 104, 101recxpcld 19997 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10665, 67, 101recxpcld 19997 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  ^ c  S )  e.  RR )
10769, 71, 101recxpcld 19997 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 z )  ^ c  S )  e.  RR )
108106, 107readdcld 8795 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )  e.  RR )
1091, 3, 93abvtri 15522 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  <_  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) ) )
11058, 59, 60, 109syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) ) )
111100simp2d 973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <  S
)
112101, 111elrpd 10320 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR+ )
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 20001 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_ 
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  <->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) ) )
114110, 113mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) )
115100simp3d 974 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  <_  1
)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 20019 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
117102, 105, 108, 114, 116letrd 8906 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
118 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
119118oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
120 ovex 5782 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
121119, 23, 120fvmpt 5501 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  R
) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12295, 121syl 17 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12383, 88oveq12d 5775 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  +  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
124117, 122, 1233brtr4d 3993 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( G `  y )  +  ( G `  z ) ) )
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 15512 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675   RR*cxr 8799    < clt 8800    <_ cle 8801   (,]cioc 10588   Basecbs 13075   +g cplusg 13135   .rcmulr 13136   0gc0g 13327   Grpcgrp 14289   Ringcrg 15264  AbsValcabv 15508    ^ c ccxp 19840
This theorem is referenced by:  ostth2  20713  ostth  20715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-abv 15509  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-cxp 19842
  Copyright terms: Public domain W3C validator