MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem abvgt0 15916
Description: The absolute value of a nonzero number is strictly positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abveq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvgt0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvgt0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvcl 15912 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
433adant3 977 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
51, 2abvge0 15913 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <_  ( F `  X ) )
7 abveq0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81, 2, 7abvne0 15915 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  =/=  0 )
94, 6, 8ne0gt0d 9210 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   RRcr 8989   0cc0 8990    < clt 9120    <_ cle 9121   Basecbs 13469   0gc0g 13723  AbsValcabv 15904
This theorem is referenced by:  abvres  15927  abvcxp  21309  ostth2  21331  ostth3  21332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-abv 15905
  Copyright terms: Public domain W3C validator