MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Unicode version

Theorem abvmet 18094
Description: An absolute value  F generates a metric defined by  d (
x ,  y )  =  F ( x  -  y ), analogously to cnmet 18277. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 15587 and abvtri 15591, abvneg 15595 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
abvmet.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvmet.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmet  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem abvmet
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
2 abvmet.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  R )
3 eqid 2286 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 abvmet.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
54abvrcl 15582 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 15342 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
84, 1abvf 15584 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : X --> RR )
94, 1, 3abveq0 15587 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X )  ->  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) ) )
104, 1, 2abvsubtri 15596 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
11103expb 1154 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 18093 1  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1625    e. wcel 1687   class class class wbr 4026    o. ccom 4694   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    + caddc 8737    <_ cle 8865   Basecbs 13144   0gc0g 13396   Grpcgrp 14358   -gcsg 14361   Ringcrg 15333  AbsValcabv 15577   Metcme 16366
This theorem is referenced by:  tngnrg  18181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-map 6771  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-ico 10658  df-seq 11043  df-exp 11101  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13217  df-0g 13400  df-mnd 14363  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-abv 15578  df-met 16370
  Copyright terms: Public domain W3C validator