MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Unicode version

Theorem abvmet 18098
Description: An absolute value  F generates a metric defined by  d (
x ,  y )  =  F ( x  -  y ), analogously to cnmet 18281. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 15591 and abvtri 15595, abvneg 15599 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
abvmet.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvmet.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmet  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
2 abvmet.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  R )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 abvmet.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
54abvrcl 15586 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 15346 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
84, 1abvf 15588 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : X --> RR )
94, 1, 3abveq0 15591 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X )  ->  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) ) )
104, 1, 2abvsubtri 15600 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
11103expb 1152 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 18097 1  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    + caddc 8740    <_ cle 8868   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  tngnrg  18185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-abv 15582  df-met 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator