MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Unicode version

Theorem abvmet 18060
Description: An absolute value  F generates a metric defined by  d (
x ,  y )  =  F ( x  -  y ), analogously to cnmet 18243. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 15553 and abvtri 15557, abvneg 15561 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
abvmet.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvmet.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmet  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem abvmet
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
2 abvmet.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  R )
3 eqid 2258 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 abvmet.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
54abvrcl 15548 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 15308 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
84, 1abvf 15550 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : X --> RR )
94, 1, 3abveq0 15553 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X )  ->  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) ) )
104, 1, 2abvsubtri 15562 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
11103expb 1157 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 18059 1  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997    o. ccom 4665   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    + caddc 8708    <_ cle 8836   Basecbs 13110   0gc0g 13362   Grpcgrp 14324   -gcsg 14327   Ringcrg 15299  AbsValcabv 15543   Metcme 16332
This theorem is referenced by:  tngnrg  18147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-ico 10628  df-seq 11013  df-exp 11071  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-plusg 13183  df-0g 13366  df-mnd 14329  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-sbg 14453  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-ur 15304  df-abv 15544  df-met 16336
  Copyright terms: Public domain W3C validator