MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Unicode version

Theorem abvmet 18654
Description: An absolute value  F generates a metric defined by  d (
x ,  y )  =  F ( x  -  y ), analogously to cnmet 18837. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 15945 and abvtri 15949, abvneg 15953 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x  |-  X  =  ( Base `  R
)
abvmet.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvmet.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmet  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2  |-  X  =  ( Base `  R
)
2 abvmet.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  R )
3 eqid 2442 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 abvmet.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
54abvrcl 15940 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 15700 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
84, 1abvf 15942 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : X --> RR )
94, 1, 3abveq0 15945 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X )  ->  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) ) )
104, 1, 2abvsubtri 15954 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
11103expb 1155 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 18653 1  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237    o. ccom 4911   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    + caddc 9024    <_ cle 9152   Basecbs 13500   0gc0g 13754   Grpcgrp 14716   -gcsg 14719   Ringcrg 15691  AbsValcabv 15935   Metcme 16718
This theorem is referenced by:  tngnrg  18741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-ico 10953  df-seq 11355  df-exp 11414  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-abv 15936  df-met 16727
  Copyright terms: Public domain W3C validator