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Theorem abvmul 15594
Description: An absolute value distributes under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmul  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem abvmul
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15586 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 abvf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
5 abvmul.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
71, 3, 4, 5, 6isabv 15584 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
82, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
98ibi 232 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  ( F : B --> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
11 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
1211ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1312adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
1413ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
1510, 14syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
16 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  y ) )
1716fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  y ) ) )
18 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
1918oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  y
) ) )
2017, 19eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( X  .x.  y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
21 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
2221fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( X  .x.  y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
23 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
2423oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )
2522, 24eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  ( X  .x.  y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( X  .x.  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 Y ) ) ) )
2620, 25rspc2v 2890 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  -> 
( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
2715, 26syl5com 26 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  ( X  .x.  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 Y ) ) ) )
28273impib 1149 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581
This theorem is referenced by:  abv1z  15597  abvneg  15599  abvrec  15601  abvdiv  15602  abvdom  15603  abvres  15604  nmmul  18175  sranlm  18195  abvcxp  20764  qabvexp  20775  ostthlem2  20777  ostth2lem2  20783  ostth3  20787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-abv 15582
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