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Theorem abvmul 15556
Description: An absolute value distributes under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
abvmul  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem abvmul
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15548 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 abvf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
5 abvmul.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
71, 3, 4, 5, 6isabv 15546 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
82, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
98ibi 234 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  ( F : B --> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) )
109simprd 451 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
11 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
1211ralimi 2593 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R
) y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1312adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
1413ralimi 2593 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
1510, 14syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
16 oveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  y ) )
1716fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  y ) ) )
18 fveq2 5458 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
1918oveq1d 5807 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  y
) ) )
2017, 19eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( X  .x.  y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
21 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
2221fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( X  .x.  y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
23 fveq2 5458 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
2423oveq2d 5808 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )
2522, 24eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  ( X  .x.  y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( X  .x.  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 Y ) ) ) )
2620, 25rcla42v 2865 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  -> 
( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
2715, 26syl5com 28 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  ( X  .x.  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  x.  ( F `
 Y ) ) ) )
28273impib 1154 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  x.  ( F `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   class class class wbr 3997   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    <_ cle 8836   [,)cico 10624   Basecbs 13110   +g cplusg 13170   .rcmulr 13171   0gc0g 13362   Ringcrg 15299  AbsValcabv 15543
This theorem is referenced by:  abv1z  15559  abvneg  15561  abvrec  15563  abvdiv  15564  abvdom  15565  abvres  15566  nmmul  18137  sranlm  18157  abvcxp  20726  qabvexp  20737  ostthlem2  20739  ostth2lem2  20745  ostth3  20749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-map 6742  df-abv 15544
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