Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Unicode version

Theorem abvn0b 16142
 Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 15705: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b AbsVal
Assertion
Ref Expression
abvn0b Domn NzRing

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 16135 . . 3 Domn NzRing
2 abvn0b.b . . . . 5 AbsVal
3 eqid 2358 . . . . 5
4 eqid 2358 . . . . 5
5 eqid 2358 . . . . 5
6 eqid 2358 . . . . 5
7 domnrng 16136 . . . . 5 Domn
83, 6, 4domnmuln0 16138 . . . . 5 Domn
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 15704 . . . 4 Domn
10 ne0i 3537 . . . 4
119, 10syl 15 . . 3 Domn
121, 11jca 518 . 2 Domn NzRing
13 n0 3540 . . . . 5
14 neanior 2606 . . . . . . . . 9
15 an4 797 . . . . . . . . . . 11
162, 3, 4, 6abvdom 15702 . . . . . . . . . . . 12
17163expib 1154 . . . . . . . . . . 11
1815, 17syl5bi 208 . . . . . . . . . 10
1918expdimp 426 . . . . . . . . 9
2014, 19syl5bir 209 . . . . . . . 8
2120necon4bd 2583 . . . . . . 7
2221ralrimivva 2711 . . . . . 6
2322exlimiv 1634 . . . . 5
2413, 23sylbi 187 . . . 4
2524anim2i 552 . . 3 NzRing NzRing
263, 6, 4isdomn 16134 . . 3 Domn NzRing
2725, 26sylibr 203 . 2 NzRing Domn
2812, 27impbii 180 1 Domn NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  c0 3531  cif 3641   cmpt 4158  cfv 5337  (class class class)co 5945  cc0 8827  c1 8828  cbs 13245  cmulr 13306  c0g 13499  AbsValcabv 15680  NzRingcnzr 16108  Domncdomn 16120 This theorem is referenced by:  nrgdomn  18284 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ico 10754  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-abv 15681  df-nzr 16109  df-domn 16124
 Copyright terms: Public domain W3C validator