MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Unicode version

Theorem abvneg 15615
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvneg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvneg.p  |-  N  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvneg  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15602 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
4 rnggrp 15362 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
52, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
6 abvneg.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 abvneg.p . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  R )
86, 7grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
95, 8sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
136, 11, 12rng1eq0 15395 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  X )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( N `  X
)  =  X ) )
143, 9, 10, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  ( N `  X )  =  X ) )
1514imp 418 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( N `  X )  =  X )
1615fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X
) )  =  ( F `  X ) )
176, 11rngidcl 15377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
182, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  A  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
196, 7grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
205, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
211, 6abvcl 15605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR )
2220, 21mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  RR )
2322recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  CC )
2423sqvald 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
25 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
261, 6, 25abvmul 15610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
2720, 20, 26mpd3an23 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
286, 25, 7, 2, 20, 18rngmneg2 15399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) ) )
296, 25, 11, 7, 2, 18rngnegl 15396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( N `  ( 1r `  R ) ) )
3029fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) )  =  ( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
316, 7grpinvinv 14551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
325, 18, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
3328, 30, 323eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
3433fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( F `  ( 1r
`  R ) ) )
3524, 27, 343eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
371, 11, 12abv1z 15613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( 1r `  R ) )  =  1 )
3836, 37eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  1 )
39 sq1 11214 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4038, 39syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
411, 6abvge0 15606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
4220, 41mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
43 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
44 0le1 9313 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
45 sq11 11192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( ( F `  ( N `
 ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4643, 44, 45mpanr12 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  ->  ( (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4722, 42, 46syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 ) )
4847biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
4940, 48syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
5049adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 )
5150oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( 1  x.  ( F `  X ) ) )
52 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  A )
5320adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
541, 6, 25abvmul 15610 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) ) )
5552, 53, 10, 54syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
) )
566, 25, 11, 7, 3, 10rngnegl 15396 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( N `  X ) )
5756fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5855, 57eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5958adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 ( N `  X ) ) )
6051, 59eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  ( N `
 X ) ) )
611, 6abvcl 15605 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6261recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
6362mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
6463adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  X ) )
6560, 64eqtr3d 2330 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
6616, 65pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884   2c2 9811   ^cexp 11120   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   Ringcrg 15353   1rcur 15355  AbsValcabv 15597
This theorem is referenced by:  abvsubtri  15616  ostthlem1  20792  ostth3  20803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-abv 15598
  Copyright terms: Public domain W3C validator