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Theorem abvpropd 15932
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
abvpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
abvpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
abvpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
abvpropd  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 abvpropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 abvpropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 abvpropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
51, 2, 3, 4rngpropd 15697 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
61, 2eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
76feq2d 5583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : (
Base `  K ) --> ( 0 [,)  +oo ) 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
81, 2, 3grpidpropd 14724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
98adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
109eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  =  ( 0g
`  K )  <->  x  =  ( 0g `  L ) ) )
1110bibi2d 311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
124fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) ) )
1312eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  <-> 
( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) ) ) )
143fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
1514breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )
1613, 15anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1716anassrs 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1817ralbidva 2723 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1911, 18anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2019ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) ) )
211raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2221anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
231, 22raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
242raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2524anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
262, 25raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2720, 23, 263bitr3d 276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  L )
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
287, 27anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
295, 28anbi12d 693 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) ) )
30 eqid 2438 . . . . 5  |-  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  K )
3130abvrcl 15911 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  ->  K  e.  Ring )
32 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
33 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
34 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
35 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
3630, 32, 33, 34, 35isabv 15909 . . . 4  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
3731, 36biadan2 625 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
38 eqid 2438 . . . . 5  |-  (AbsVal `  L )  =  (AbsVal `  L )
3938abvrcl 15911 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  ->  L  e.  Ring )
40 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
41 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
42 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
43 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
4438, 40, 41, 42, 43isabv 15909 . . . 4  |-  ( L  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4539, 44biadan2 625 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4629, 37, 453bitr4g 281 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K )  <->  f  e.  (AbsVal `  L ) ) )
4746eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119    <_ cle 9123   [,)cico 10920   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532   0gc0g 13725   Ringcrg 15662  AbsValcabv 15906
This theorem is referenced by:  tngnrg  18712  abvpropd2  24187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-abv 15907
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