MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Unicode version

Theorem abvrcl 15911
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
abvrcl  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables  x  y  f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 15907 . . . 4  |- AbsVal  =  ( r  e.  Ring  |->  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
21dmmptss 5368 . . 3  |-  dom AbsVal  C_  Ring
3 elfvdm 5759 . . 3  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  dom AbsVal )
42, 3sseldi 3348 . 2  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  Ring )
5 abvf.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
64, 5eleq2s 2530 1  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119    <_ cle 9123   [,)cico 10920   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532   0gc0g 13725   Ringcrg 15662  AbsValcabv 15906
This theorem is referenced by:  abvfge0  15912  abveq0  15916  abvmul  15919  abvtri  15920  abv0  15921  abv1z  15922  abvneg  15924  abvsubtri  15925  abvpropd  15932  abvmet  18625  nrgrng  18701  tngnrg  18712  abvcxp  21311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fv 5464  df-abv 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator