Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Unicode version

Theorem abvres 15606
 Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a AbsVal
abvres.s s
abvres.b AbsVal
Assertion
Ref Expression
abvres SubRing

Proof of Theorem abvres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 AbsVal
21a1i 10 . 2 SubRing AbsVal
3 abvres.s . . . 4 s
43subrgbas 15556 . . 3 SubRing
6 eqid 2285 . . . 4
73, 6ressplusg 13252 . . 3 SubRing
9 eqid 2285 . . . 4
103, 9ressmulr 13263 . . 3 SubRing
12 subrgsubg 15553 . . . 4 SubRing SubGrp
1312adantl 452 . . 3 SubRing SubGrp
14 eqid 2285 . . . 4
153, 14subg0 14629 . . 3 SubGrp
1613, 15syl 15 . 2 SubRing
173subrgrng 15550 . . 3 SubRing
19 abvres.a . . . 4 AbsVal
20 eqid 2285 . . . 4
2119, 20abvf 15590 . . 3
2220subrgss 15548 . . 3 SubRing
23 fssres 5410 . . 3
2421, 22, 23syl2an 463 . 2 SubRing
2514subg0cl 14631 . . . 4 SubGrp
26 fvres 5544 . . . 4
2713, 25, 263syl 18 . . 3 SubRing
2819, 14abv0 15598 . . . 4
2928adantr 451 . . 3 SubRing
3027, 29eqtrd 2317 . 2 SubRing
31 simp1l 979 . . . 4 SubRing
3222adantl 452 . . . . . 6 SubRing
3332sselda 3182 . . . . 5 SubRing
34333adant3 975 . . . 4 SubRing
35 simp3 957 . . . 4 SubRing
3619, 20, 14abvgt0 15595 . . . 4
3731, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . 3 SubRing
38 fvres 5544 . . . 4
39383ad2ant2 977 . . 3 SubRing
4037, 39breqtrrd 4051 . 2 SubRing
41 simp1l 979 . . . 4 SubRing
42 simp1r 980 . . . . . 6 SubRing SubRing
4342, 22syl 15 . . . . 5 SubRing
44 simp2l 981 . . . . 5 SubRing
4543, 44sseldd 3183 . . . 4 SubRing
46 simp3l 983 . . . . 5 SubRing
4743, 46sseldd 3183 . . . 4 SubRing
4819, 20, 9abvmul 15596 . . . 4
4941, 45, 47, 48syl3anc 1182 . . 3 SubRing
509subrgmcl 15559 . . . . 5 SubRing
5142, 44, 46, 50syl3anc 1182 . . . 4 SubRing
52 fvres 5544 . . . 4
5351, 52syl 15 . . 3 SubRing
5444, 38syl 15 . . . 4 SubRing
55 fvres 5544 . . . . 5
5646, 55syl 15 . . . 4 SubRing
5754, 56oveq12d 5878 . . 3 SubRing
5849, 53, 573eqtr4d 2327 . 2 SubRing
5919, 20, 6abvtri 15597 . . . 4
6041, 45, 47, 59syl3anc 1182 . . 3 SubRing
616subrgacl 15558 . . . . 5 SubRing
6242, 44, 46, 61syl3anc 1182 . . . 4 SubRing
63 fvres 5544 . . . 4
6462, 63syl 15 . . 3 SubRing
6554, 56oveq12d 5878 . . 3 SubRing
6660, 64, 653brtr4d 4055 . 2 SubRing
672, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 58, 66isabvd 15587 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1625   wcel 1686   wne 2448   wss 3154   class class class wbr 4025   cres 4693  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860  cr 8738  cc0 8739   caddc 8742   cmul 8744   clt 8869   cle 8870  cbs 13150   ↾s cress 13151   cplusg 13210  cmulr 13211  c0g 13402  SubGrpcsubg 14617  crg 15339  SubRingcsubrg 15543  AbsValcabv 15583 This theorem is referenced by:  subrgnrg  18186  qabsabv  20780 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-ico 10664  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-subg 14620  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-subrg 15545  df-abv 15584
 Copyright terms: Public domain W3C validator