MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvsubtri Structured version   Unicode version

Theorem abvsubtri 15925
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvneg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvsubtri.p  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvsubtri  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem abvsubtri
StepHypRef Expression
1 abvneg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
4 abvsubtri.p . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
51, 2, 3, 4grpsubval 14850 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )
653adant1 976 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )
76fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .-  Y ) )  =  ( F `  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) ) )
8 abv0.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (AbsVal `  R )
98abvrcl 15911 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
11 rnggrp 15671 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
13 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
141, 3grpinvcl 14852 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  R ) `  Y
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  R ) `  Y
)  e.  B )
168, 1, 2abvtri 15920 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  ( ( inv g `  R ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( F `  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )  <_  ( ( F `  X )  +  ( F `  ( ( inv g `  R ) `  Y
) ) ) )
1715, 16syld3an3 1230 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )  <_  ( ( F `  X )  +  ( F `  ( ( inv g `  R ) `  Y
) ) ) )
188, 1, 3abvneg 15924 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  (
( inv g `  R ) `  Y
) )  =  ( F `  Y ) )
19183adant2 977 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  (
( inv g `  R ) `  Y
) )  =  ( F `  Y ) )
2019oveq2d 6099 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  +  ( F `  ( ( inv g `  R
) `  Y )
) )  =  ( ( F `  X
)  +  ( F `
 Y ) ) )
2117, 20breqtrd 4238 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )  <_  ( ( F `  X )  +  ( F `  Y ) ) )
227, 21eqbrtrd 4234 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  ( X  .-  Y ) )  <_  ( ( F `
 X )  +  ( F `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    + caddc 8995    <_ cle 9123   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690   Ringcrg 15662  AbsValcabv 15906
This theorem is referenced by:  abvmet  18625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-ico 10924  df-seq 11326  df-exp 11385  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-abv 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator