MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Structured version   Unicode version

Theorem abvtriv 15929
Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as  R is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 15926 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvtriv.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvtriv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
abvtriv.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
abvtriv  |-  ( R  e.  DivRing  ->  F  e.  A
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, R    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvtriv.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvtriv.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 abvtriv.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  1 ) )
5 eqid 2436 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 drngrng 15842 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
7 biid 228 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  R  e.  DivRing )
8 eldifsn 3927 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )
9 eldifsn 3927 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )
102, 5, 3drngmcl 15848 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  z  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y ( .r
`  R ) z )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
117, 8, 9, 10syl3anbr 1228 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
12 eldifsn 3927 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
y ( .r `  R ) z )  e.  B  /\  (
y ( .r `  R ) z )  =/=  .0.  ) )
1311, 12sylib 189 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
( y ( .r
`  R ) z )  e.  B  /\  ( y ( .r
`  R ) z )  =/=  .0.  )
)
1413simprd 450 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  =/=  .0.  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 15928 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  F  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    \ cdif 3317   ifcif 3739   {csn 3814    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   DivRingcdr 15835  AbsValcabv 15904
This theorem is referenced by:  ostth1  21327  ostth  21333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ico 10922  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-abv 15905
  Copyright terms: Public domain W3C validator