MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Unicode version

Theorem abvtriv 15917
Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as  R is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 15914 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvtriv.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvtriv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
abvtriv.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
abvtriv  |-  ( R  e.  DivRing  ->  F  e.  A
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, R    x, B
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvtriv.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvtriv.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 abvtriv.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  1 ) )
5 eqid 2435 . 2  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 drngrng 15830 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
7 biid 228 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  R  e.  DivRing )
8 eldifsn 3919 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )
9 eldifsn 3919 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )
102, 5, 3drngmcl 15836 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  z  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y ( .r
`  R ) z )  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
117, 8, 9, 10syl3anbr 1228 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
12 eldifsn 3919 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
y ( .r `  R ) z )  e.  B  /\  (
y ( .r `  R ) z )  =/=  .0.  ) )
1311, 12sylib 189 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
( y ( .r
`  R ) z )  e.  B  /\  ( y ( .r
`  R ) z )  =/=  .0.  )
)
1413simprd 450 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  )  /\  ( z  e.  B  /\  z  =/=  .0.  ) )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  =/=  .0.  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 15916 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  F  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   0cc0 8979   1c1 8980   Basecbs 13457   .rcmulr 13518   0gc0g 13711   DivRingcdr 15823  AbsValcabv 15892
This theorem is referenced by:  ostth1  21315  ostth  21321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-ico 10911  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-abv 15893
  Copyright terms: Public domain W3C validator