MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Structured version   Unicode version

Theorem ac5b 8396
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac5b  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 4740 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8388 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  U. A  e. 
dom  card )
5 neirr 2613 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
6 neeq1 2616 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  (/) ) )
76rspccv 3058 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  =/=  (/) ) )
85, 7mtoi 172 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  -.  (/)  e.  A
)
9 ac5num 7955 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
104, 8, 9syl2anc 644 1  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   _Vcvv 2965   (/)c0 3616   U.cuni 4044   dom cdm 4913   -->wf 5485   ` cfv 5489   cardccrd 7860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-ac2 8381
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-suc 4622  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-riota 6585  df-recs 6669  df-en 7146  df-card 7864  df-ac 8035
  Copyright terms: Public domain W3C validator