MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Unicode version

Theorem ac5b 8342
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac5b  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 4691 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8334 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  U. A  e. 
dom  card )
5 neirr 2598 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
6 neeq1 2601 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  (/) ) )
76rspccv 3036 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  =/=  (/) ) )
85, 7mtoi 171 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  -.  (/)  e.  A
)
9 ac5num 7901 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
104, 8, 9syl2anc 643 1  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   _Vcvv 2943   (/)c0 3615   U.cuni 4002   dom cdm 4864   -->wf 5436   ` cfv 5440   cardccrd 7806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-ac2 8327
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-suc 4574  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-riota 6535  df-recs 6619  df-en 7096  df-card 7810  df-ac 7981
  Copyright terms: Public domain W3C validator