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Theorem ac5num 7851
Description: A version of ac5b 8292 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables  g 
r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2908 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexb 4693 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
31, 2sylibr 204 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  A  e.  _V )
4 dfac8b 7846 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  U. A )
5 dfac8c 7848 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
63, 4, 5sylc 58 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
76adantr 452 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
8 nelne2 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
98ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  (/)  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
109adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
11 pm2.27 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1312ralimdva 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
) )
1413imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
15 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
16 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1715, 16eleq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  y )  e.  y ) )
1817rspccva 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  x  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  y )
1914, 18sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  y )
20 elunii 3963 . . . . . 6  |-  ( ( ( g `  y
)  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  U. A
)
2119, 20sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  U. A )
22 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  |->  ( g `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )
2321, 22fmptd 5833 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A
)
243ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A  e.  _V )
251ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  U. A  e.  _V )
26 fex2 5544 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A  e. 
_V  /\  U. A  e. 
_V )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
28 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
29 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3028, 22, 29fvmpt 5746 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
3130eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x ) )
3231ralbiia 2682 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
3314, 32sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x )
3423, 33jca 519 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x ) )
35 feq1 5517 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f : A --> U. A  <->  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A ) )
36 fveq1 5668 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x ) )
3736eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  x  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3837ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3935, 38anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x
) ) )
4039spcegv 2981 . . 3  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) ) )
4127, 34, 40sylc 58 . 2  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
427, 41exlimddv 1645 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   _Vcvv 2900   (/)c0 3572   U.cuni 3958    e. cmpt 4208    We wwe 4482   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395   cardccrd 7756
This theorem is referenced by:  numacn  7864  ac5b  8292  ac6num  8293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-riota 6486  df-en 7047  df-card 7760
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