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Theorem ac5num 7679
Description: A version of ac5b 8121 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables  g 
r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexb 4579 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
31, 2sylibr 203 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  A  e.  _V )
4 dfac8b 7674 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  U. A )
5 dfac8c 7676 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
63, 4, 5sylc 56 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
76adantr 451 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
8 nelne2 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
98ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  (/)  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
109adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
11 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1312ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
) )
1413imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
15 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
16 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1715, 16eleq12d 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  y )  e.  y ) )
1817rspccva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  x  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  y )
1914, 18sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  y )
20 elunii 3848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g `  y
)  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  U. A
)
2119, 20sylancom 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  U. A )
22 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  ( g `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )
2321, 22fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A
)
243ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A  e.  _V )
251ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  U. A  e.  _V )
26 fex2 5417 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A  e. 
_V  /\  U. A  e. 
_V )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
29 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3028, 22, 29fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
3130eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x ) )
3231ralbiia 2588 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
3314, 32sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x )
3423, 33jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x ) )
35 feq1 5391 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f : A --> U. A  <->  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A ) )
36 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x ) )
3736eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  x  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3837ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3935, 38anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x
) ) )
4039spcegv 2882 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) ) )
4127, 34, 40sylc 56 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
4241ex 423 . . 3  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) ) )
4342exlimdv 1626 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) ) )
447, 43mpd 14 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    We wwe 4367   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  numacn  7692  ac5b  8121  ac6num  8122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-en 6880  df-card 7588
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