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Theorem ac5num 7907
Description: A version of ac5b 8348 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables  g 
r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexb 4744 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
31, 2sylibr 204 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  A  e.  _V )
4 dfac8b 7902 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  U. A )
5 dfac8c 7904 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x ) ) )
63, 4, 5sylc 58 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
76adantr 452 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. g A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
8 nelne2 2688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
98ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  (/)  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
109adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  (/) )
11 pm2.27 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
1312ralimdva 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
)  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
) )
1413imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
15 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
16 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1715, 16eleq12d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  y )  e.  y ) )
1817rspccva 3043 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  x  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  y )
1914, 18sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  y )
20 elunii 4012 . . . . . 6  |-  ( ( ( g `  y
)  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  U. A
)
2119, 20sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
g `  y )  e.  U. A )
22 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  |->  ( g `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )
2321, 22fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A
)
243ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A  e.  _V )
251ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  U. A  e.  _V )
26 fex2 5595 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A  e. 
_V  /\  U. A  e. 
_V )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V )
28 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
29 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
3028, 22, 29fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
3130eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x  <->  ( g `  x )  e.  x ) )
3231ralbiia 2729 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  x
)
3314, 32sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x )
3423, 33jca 519 . . 3  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x ) )
35 feq1 5568 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f : A --> U. A  <->  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A ) )
36 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x ) )
3736eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  x  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3837ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x ) )
3935, 38anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  -> 
( ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  x )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) `  x )  e.  x
) ) )
4039spcegv 3029 . . 3  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( g `  y ) ) : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( g `  y
) ) `  x
)  e.  x )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) ) )
4127, 34, 40sylc 58 . 2  |-  ( ( ( U. A  e. 
dom  card  /\  -.  (/)  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
427, 41exlimddv 1648 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    We wwe 4532   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446   cardccrd 7812
This theorem is referenced by:  numacn  7920  ac5b  8348  ac6num  8349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-en 7102  df-card 7816
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