MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c5 Unicode version

Theorem ac6c5 8042
Description: Equivalent of Axiom of Choice.  B is a collection  B ( x ) of nonempty sets. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6c5  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6c5
StepHypRef Expression
1 ac6c4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 ac6c4.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2ac6c4 8041 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
4 simpr 449 . . 3  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
54eximi 1574 . 2  |-  ( E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
63, 5syl 17 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2740   (/)c0 3397    Fn wfn 4633   ` cfv 4638
This theorem is referenced by:  konigthlem  8123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-ac2 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-suc 4335  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-en 6797  df-card 7505  df-ac 7676
  Copyright terms: Public domain W3C validator