Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6gf Structured version   Unicode version

Theorem ac6gf 26434
Description: Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6gf.1  |-  F/ y ps
ac6gf.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6gf  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, f    x, B, y, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    C( x, y, f)

Proof of Theorem ac6gf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 2944 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2729 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6gf.1 . . . . 5  |-  F/ y ps
4 ac6gf.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4sbhypf 3001 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
65ac6sg 8368 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylan2b 462 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550   F/wnf 1553    = wceq 1652   [wsb 1658    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   -->wf 5450   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  indexdom  26436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-en 7110  df-r1 7690  df-rank 7691  df-card 7826  df-ac 7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator