Theorem ac6n 4740

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 4739.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. V
ac6s.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	|- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) -> E.x e. A A.y e. B ph)

Distinct variable groups:   x,y,f,A   x,B,y,f   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 |- A e. V
2		ac6s.2	. . . . 5 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
3	2	negbid 610	. . . 4 |- (y = (f` x) -> (-. ph <-> -. ps))
4	1, 3	ac6s 4739	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B -. ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
5	4	con3i 98	. 2 |- (-. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps) -> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
6		dfrex2 1654	. . . . 5 |- (E.x e. A ps <-> -. A.x e. A -. ps)
7	6	imbi2i 185	. . . 4 |- ((f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> (f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps))
8	7	albii 998	. . 3 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> A.f(f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps))
9		alinexa 1041	. . 3 |- (A.f(f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps) <-> -. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
10	8, 9	bitr 173	. 2 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> -. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
11		dfral2 1653	. . . 4 |- (A.y e. B ph <-> -. E.y e. B -. ph)
12	11	rexbii 1666	. . 3 |- (E.x e. A A.y e. B ph <-> E.x e. A -. E.y e. B -. ph)
13		rexnal 1652	. . 3 |- (E.x e. A -. E.y e. B -. ph <-> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
14	12, 13	bitr 173	. 2 |- (E.x e. A A.y e. B ph <-> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
15	5, 10, 14	3imtr4 219	1 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) -> E.x e. A A.y e. B ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  A.wral 1643  E.wrex 1644  Vcvv 1808  -->wf 3174  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  metcnp4 7932  nmobndseqi 8400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-r1 4626  df-rank 4627

Copyright terms: Public domain