MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Unicode version

Theorem ac6n 8128
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 8127. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6n  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ac6s 8127 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
54con3i 127 . 2  |-  ( -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
6 dfrex2 2569 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ps )
76imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
87albii 1556 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
9 alinexa 1568 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps )  <->  -.  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )
)
108, 9bitri 240 . 2  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
11 dfral2 2568 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
1211rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
13 rexnal 2567 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
1412, 13bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
155, 10, 143imtr4i 257 1  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   -->wf 5267   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  nmobndseqiOLD  21374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-en 6880  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-ac 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator