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Theorem ac6num 8359
Description: A version of ac6 8360 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6num.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6num  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    y, f, B, x    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4121 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
21nfel1 2582 . . . . . . . 8  |-  F/ x U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card
3 ssiun2 4134 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  { y  e.  B  |  ph }  C_  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
)
4 ssexg 4349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  e.  B  |  ph }  C_  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
54expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  -> 
( { y  e.  B  |  ph }  C_ 
U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
)
63, 5syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  -> 
( x  e.  A  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V ) )
72, 6ralrimi 2787 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  A. x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
8 dfiun2g 4123 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  _V  ->  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  =  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } } )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } } )
10 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )
1110rnmpt 5116 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } }
1211unieqi 4025 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } }
139, 12syl6eqr 2486 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
14 id 20 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )
1513, 14eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  dom  card )
16153ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  U. ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  e.  dom  card )
17 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
18 necom 2685 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  {
y  e.  B  |  ph } )
19 rabn0 3647 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  B  ph )
20 df-ne 2601 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  { y  e.  B  |  ph }  <->  -.  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
2118, 19, 203bitr3i 267 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -.  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2221ralbii 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  -.  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
23 ralnex 2715 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  -.  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }  <->  -. 
E. x  e.  A  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2422, 23bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  -.  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
2517, 24sylib 189 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  -.  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
26 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2710elrnmpt 5117 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  <->  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  <->  E. x  e.  A  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2925, 28sylnibr 297 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  -.  (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
30 ac5num 7917 . . 3  |-  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  E. g ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z ) )
3116, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. g
( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U.
ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) ( g `  z )  e.  z ) )
32 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  -> 
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
3332anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z ) )
3473ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  A. x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
35 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  z
)  =  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
36 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  z  =  { y  e.  B  |  ph } )
3735, 36eleq12d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( g `  z )  e.  z  <-> 
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph } ) )
3810, 37ralrnmpt 5878 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. x  e.  A  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
{ y  e.  B  |  ph } ) )
3934, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z  <->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph } ) )
4039anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  <->  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  /\  A. x  e.  A  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
{ y  e.  B  |  ph } ) ) )
4133, 40syl5ib 211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) ) )
423sseld 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } ) )
4342ralimia 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
4443ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
45 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }
46 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )
4746, 1nfel 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }
48 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  =  [_ z  /  x ]_ ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
4948eleq1d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  <->  [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } ) )
5045, 47, 49cbvral 2928 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  <->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
)
5144, 50sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
52 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )
5352, 46, 48cbvmpt 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  =  ( z  e.  A  |->  [_ z  /  x ]_ (
g `  { y  e.  B  |  ph }
) )
5453fmpt 5890 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } )
5551, 54sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } )
56 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )
58 fex2 5603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  /\  A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )  ->  (
x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V )
60 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  B  |  ph }  C_  B
6160sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  B )
6261ralimi 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  B
)
6362ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  B
)
64 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
6564fmpt 5890 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) : A --> B )
6663, 65sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B )
67 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
6867elrabsf 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  <->  ( ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  B  /\  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
6968simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  [. ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph )
7069ralimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph )
7170ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph )
7266, 71jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
73 feq1 5576 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( f : A --> B  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) : A --> B ) )
74 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) )
7574nfeq2 2583 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
76 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
77 ac6num.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7876, 77sbcie 3195 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  ps )
79 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) `  x ) )
80 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  _V
8164fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) `  x
)  =  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
8280, 81mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
8379, 82sylan9eq 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
84 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  / 
y ]. ph ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
8678, 85syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  / 
y ]. ph ) )
8775, 86ralbida 2719 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( A. x  e.  A  ps  <->  A. x  e.  A  [. ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph ) )
8873, 87anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) ) )
8988spcegv 3037 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9059, 72, 89sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
9190ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9241, 91syld 42 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9392exlimdv 1646 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. g ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9431, 93mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956   [.wsbc 3161   [_csb 3251    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   U_ciun 4093    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454   cardccrd 7822
This theorem is referenced by:  ac6  8360  ptcmplem3  18085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-en 7110  df-card 7826
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