MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s2 Unicode version

Theorem ac6s2 8292
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 8293. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s2  |-  ( A. x  e.  A  E. y ph  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s2
StepHypRef Expression
1 rexv 2906 . . 3  |-  ( E. y  e.  _V  ph  <->  E. y ph )
21ralbii 2666 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph  <->  A. x  e.  A  E. y ph )
3 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 ac6s.2 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4ac6s 8290 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph  ->  E. f ( f : A --> _V  /\  A. x  e.  A  ps )
)
6 ffn 5524 . . . . 5  |-  ( f : A --> _V  ->  f  Fn  A )
76anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( f : A --> _V  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ps )
)
87eximi 1582 . . 3  |-  ( E. f ( f : A --> _V  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ps ) )
95, 8syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  _V  ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ps )
)
102, 9sylbir 205 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y ph  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387
This theorem is referenced by:  ac6s3  8293  ac6s4  8296  ptpcon  24692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-reg 7486  ax-inf2 7522  ax-ac2 8269
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-en 7039  df-r1 7616  df-rank 7617  df-card 7752  df-ac 7923
  Copyright terms: Public domain W3C validator