MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s5 Unicode version

Theorem ac6s5 8002
Description: Generalization of the Axiom of Choice to proper classes. 
B is a collection  B ( x ) of nonempty, possible proper classes. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by NM, 27-Mar-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6s4.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6s5  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6s5
StepHypRef Expression
1 ac6s4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21ac6s4 8001 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3 simpr 449 . . 3  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
43eximi 1574 . 2  |-  ( E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
52, 4syl 17 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   _Vcvv 2727   (/)c0 3362    Fn wfn 4587   ` cfv 4592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226  ax-ac2 7973
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-en 6750  df-r1 7320  df-rank 7321  df-card 7456  df-ac 7627
  Copyright terms: Public domain W3C validator