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Theorem ac6sfi 7117
Description: A version of ac6s 8127 for finite sets. (Contributed by Jeffrey Hankins, 26-Jun-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sfi.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    y, f, B, x    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sfi
Dummy variables  u  w  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2749 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph ) )
2 feq2 5392 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( f : u --> B  <->  f : (/) --> B ) )
3 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  (/)  ps )
)
42, 3anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) )
54exbidv 1616 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
) )
61, 5imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) ) )
7 raleq 2749 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
)
8 feq2 5392 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
f : u --> B  <->  f :
w --> B ) )
9 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  w  ps ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
1110exbidv 1616 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
127, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  w  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) ) )
13 raleq 2749 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph ) )
14 feq2 5392 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( f : u --> B  <->  f :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
15 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) )
1614, 15anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps ) ) )
1716exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) ) )
18 feq1 5391 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  g :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
19 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
20 ac6sfi.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2119, 20sbcie 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  ps )
22 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
23 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  =  ( g `  x )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2521, 24syl5bbr 250 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  ( ps 
<-> 
[. ( g `  x )  /  y ]. ph ) )
2625ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2718, 26anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps )  <->  ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
2827cbvexv 1956 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps )  <->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2917, 28syl6bb 252 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
3013, 29imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
31 raleq 2749 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
32 feq2 5392 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
f : u --> B  <->  f : A
--> B ) )
33 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
3432, 33anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3534exbidv 1616 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3631, 35imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  A  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
37 f0 5441 . . . 4  |-  (/) : (/) --> B
38 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
39 ral0 3571 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  (/)  ps
4039biantru 491 . . . . . 6  |-  ( f : (/) --> B  <->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
)
41 feq1 5391 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) --> B  <->  (/) : (/) --> B ) )
4240, 41syl5bbr 250 . . . . 5  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )  <->  (/) :
(/) --> B ) )
4338, 42spcev 2888 . . . 4  |-  ( (/) :
(/) --> B  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
4437, 43mp1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
45 ssun1 3351 . . . . . . 7  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
46 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph ) )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
4847imim1i 54 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) )
49 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  { z }  C_  ( w  u.  { z } )
50 ssralv 3250 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  (
w  u.  { z } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph )
)
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  {
z } E. y  e.  B  ph )
52 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
53 ralsns 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
55 sbcrexg 3079 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
)
5652, 55ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5754, 56bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5851, 57sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
59 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  z  e.  w
60 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
61 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  g : ( w  u.  { z } ) --> B
62 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( w  u.  {
z } )
63 nfsbc1v 3023 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[. ( g `  x )  /  y ]. ph
6462, 63nfral 2609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph
6561, 64nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )
6665nfex 1779 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph )
6760, 66nfim 1781 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
68 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  f :
w --> B )
69 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
7052, 69f1osn 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }
71 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
7270, 71mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
73 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  e.  B )
7473snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { y }  C_  B )
75 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. z ,  y
>. } : { z } --> { y }  /\  { y } 
C_  B )  ->  { <. z ,  y
>. } : { z } --> B )
7672, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )
77 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  -.  z  e.  w )
78 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7977, 78sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( w  i^i  { z } )  =  (/) )
80 fun2 5422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : w --> B  /\  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )  /\  ( w  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B )
8168, 76, 79, 80syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B )
82 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  ps )
83 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  w  ->  (
z  =  x  -> 
z  e.  w ) )
8483necon3bd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  w  ->  ( -.  z  e.  w  ->  z  =/=  x ) )
8584impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  z  =/=  x )
86 fvunsn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  x  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
87 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph  <->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8887, 21syl6rbb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( ps  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8985, 86, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  ( ps  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9089ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
9177, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9282, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )
93 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  [. z  /  x ]. ph )
94 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  ->  Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) )
95 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )
9652snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
9769dmsnop 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. z ,  y >. }  =  { z }
9896, 97eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
dom  { <. z ,  y
>. }
99 funssfv 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  z  e.  dom  { <. z ,  y >. } )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10095, 98, 99mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
)  =  ( {
<. z ,  y >. } `  z )
)
10181, 94, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10252, 69fvsn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
103101, 102syl6req 2345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
104 ralsns 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph ) )
10552, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
106 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
107106fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
108107eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  <->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
) ) )
109108biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
110 sbceq1a 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  -> 
( ph  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
112111ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( A. x  e. 
{ z } ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
113105, 112syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
114103, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
11593, 114mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
116 ralun 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph 
/\  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
11792, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
118 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
119 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
120118, 119unex 4534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  e.  _V
121 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B ) )
122 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
123 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  -> 
( [. ( g `  x )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( [. ( g `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
125124ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
126121, 125anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
127120, 126spcev 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )  ->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
12881, 117, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) )
129128ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  (
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
130129exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
1311303exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( y  e.  B  ->  ( [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) ) )
13259, 67, 131rexlimd 2677 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
13358, 132syl5 28 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
134133a2d 23 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
13548, 134syl5 28 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
136135adantl 452 . . 3  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
1376, 12, 30, 36, 44, 136findcard2s 7115 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
138137imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fissuni  7176  fipreima  7177  indexfi  7179  finacn  7693  axcc4dom  8083  ttukeylem6  8157  firest  13353  ablfaclem3  15338  ablfac2  15340  cmpcovf  17134  cmpsub  17143  tgcmp  17144  hauscmplem  17149  ptcnplem  17331  alexsubALTlem3  17759  alexsubALT  17761  tsmsxplem1  17851  ovolicc2lem5  18896  ovolicc2  18897  limciun  19260  cvmliftlem15  23844  comppfsc  26410  istotbnd3  26598  sstotbnd2  26601  sstotbnd  26602  prdsbnd  26620  prdstotbnd  26621  heiborlem1  26638  heibor  26648  kelac1  27264  hbt  27437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
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