Theorem ac7 4720

Description: An Axiom of Choice equivalent similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
ac7	|- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Distinct variable group:   x,f

Proof of Theorem ac7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq2 4703	. . . . 5 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2	1	albii 996	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
3		aceq6a 4713	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
4	2, 3	sylbi 199	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
5	4	19.21bi 1056	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> E.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
6		ac2 4718	. 2 |- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)
7	5, 6	mpg 983	1 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639   (_ wss 2037  (/)c0 2270  dom cdm 3160   Fn wfn 3167

This theorem is referenced by:  ac7g 4721  ac4 4722  ac8 4735  ackm 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain