Theorem ac8 4743

Description: An Axiom of Choice equivalent. Given a family x of mutually disjoint nonempty sets, there exists a set y containing exactly one member from each set in the family. Theorem 6M(4) of [Enderton] p. 151.

Assertion

Ref	Expression
ac8	|- ((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y))

Distinct variable group:   x,z,y,w,v

Proof of Theorem ac8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 4720	. . 3 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		ac7 4728	. . 3 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)
3	1, 2	mpgbi 985	. 2 |- A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y))
4	3	a4i 980	1 |- ((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378   =/= wne 1582  A.wral 1642   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  dom cdm 3165   Fn wfn 3172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain