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Theorem aceq0 7991
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 8331. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
aceq0  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem aceq0
StepHypRef Expression
1 aceq1 7990 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2 equequ2 1698 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
u  =  v  <->  u  =  x ) )
32bibi2d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
4 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
w  e.  t  <->  w  e.  x ) )
54anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  <->  ( u  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  x ) )
7 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
t  e.  y  <->  x  e.  y ) )
86, 7anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  t  /\  t  e.  y )  <->  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
95, 8anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
109cbvexv 1985 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y
) ) )
1110bibi1i 306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) )
123, 11syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
1312albidv 1635 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. u ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
14 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  w  <->  z  e.  w ) )
1514anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
16 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  x  <->  z  e.  x ) )
1716anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
1918exbidv 1636 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y
) ) ) )
20 equequ1 1696 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  x  <->  z  =  x ) )
2119, 20bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2221cbvalv 1984 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( E. x
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2313, 22syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2423cbvexv 1985 . . . . 5  |-  ( E. v A. u ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2524imbi2i 304 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  ( (
z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z
( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  z  =  x ) ) )
26252albii 1576 . . 3  |-  ( A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v ) )  <->  A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2726exbii 1592 . 2  |-  ( E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
281, 27bitr4i 244 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699
This theorem is referenced by:  dfac0  8005  ac2  8333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704
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