Theorem aceq5lem5 4663

Description: Lemma for aceq5 4664.

Hypotheses

Ref	Expression
aceq5lem.1	|- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
aceq5lem.2	|- B = (U.A i^i y)
aceq5lem.3	|- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem5	|- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Distinct variable groups:   x,f,z,y,w,v,u,t,h   z,B,w,f   x,A,y,z,w

Proof of Theorem aceq5lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . 3 |- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
2		aceq5lem.2	. . 3 |- B = (U.A i^i y)
3		aceq5lem.3	. . 3 |- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
4	1, 2, 3	aceq5lem4 4662	. 2 |- (ph -> E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y))
5		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h)
6	5	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h))
7		ineq1 2181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = ({w} X. w) -> (z i^i y) = (({w} X. w) i^i y))
8	7	eleq2d 1517	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = ({w} X. w) -> (v e. (z i^i y) <-> v e. (({w} X. w) i^i y)))
9	8	eubidv 1363	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = ({w} X. w) -> (E!v v e. (z i^i y) <-> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
10	9	rcla4cv 1847	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (({w} X. w) e. A -> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
11	1	aceq5lem3 4661	. . . . . . . . . . 11 |- (({w} X. w) e. A <-> (w =/= (/) /\ w e. h))
12		aceq5lem1 4659	. . . . . . . . . . 11 |- (E!v v e. (({w} X. w) i^i y) <-> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))
13	10, 11, 12	3imtr3g 550	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
14	6, 13	jcad 598	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))))
15	2	eleq2i 1514	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B <-> <.w, g>. e. (U.A i^i y))
16		elin 2178	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. (U.A i^i y) <-> (<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y))
17	1	aceq5lem2 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))
18	17	anbi1i 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> ((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y))
19		anass 439	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
21	15, 16, 20	3bitr 177	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
22	21	eubii 1364	. . . . . . . . . 10 |- (E!g<.w, g>. e. B <-> E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
23		euanv 1409	. . . . . . . . . 10 |- (E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
24	22, 23	bitr2 174	. . . . . . . . 9 |- ((w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> E!g<.w, g>. e. B)
25	14, 24	syl6ib 212	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g<.w, g>. e. B))
26		euex 1371	. . . . . . . . 9 |- (E!g<.w, g>. e. B -> E.g<.w, g>. e. B)
27		hbeu1 1365	. . . . . . . . . . 11 |- (E!g<.w, g>. e. B -> A.gE!g<.w, g>. e. B)
28		ax-17 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ((B` w) e. w -> A.g(B` w) e. w)
29	27, 28	hbim 983	. . . . . . . . . 10 |- ((E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w) -> A.g(E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
30	21	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B -> (g e. w /\ <.w, g>. e. y))
31	30	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B -> g e. w)
32		visset 1788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. V
33	32	tz6.12 3676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> (B` w) = g)
34	33	eleq1d 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> ((B` w) e. w <-> g e. w))
35	34	biimparc 419	. . . . . . . . . . . 12 |- ((g e. w /\ (<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B)) -> (B` w) e. w)
36	35	exp32 377	. . . . . . . . . . 11 |- (g e. w -> (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)))
37	31, 36	mpcom 49	. . . . . . . . . 10 |- (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
38	29, 37	19.23ai 1040	. . . . . . . . 9 |- (E.g<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
39	26, 38	mpcom 49	. . . . . . . 8 |- (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)
40	25, 39	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (B` w) e. w))
41	40	exp3a 375	. . . . . 6 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w =/= (/) -> (w e. h -> (B` w) e. w)))
42	41	com23 32	. . . . 5 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w e. h -> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
43	42	r19.21aiv 1689	. . . 4 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w))
44		visset 1788	. . . . . . 7 |- y e. V
45	44	inex2 2685	. . . . . 6 |- (U.A i^i y) e. V
46	2, 45	eqeltr 1520	. . . . 5 |- B e. V
47		fveq1 3662	. . . . . . . 8 |- (f = B -> (f` w) = (B` w))
48	47	eleq1d 1516	. . . . . . 7 |- (f = B -> ((f` w) e. w <-> (B` w) e. w))
49	48	imbi2d 610	. . . . . 6 |- (f = B -> ((w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
50	49	ralbidv 1639	. . . . 5 |- (f = B -> (A.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
51	46, 50	cla4ev 1842	. . . 4 |- (A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
52	43, 51	syl 10	. . 3 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
53	52	19.23aiv 1277	. 2 |- (E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
54	4, 53	syl 10	1 |- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  E!weu 1357  {cab 1440   =/= wne 1561  A.wral 1621  E.wrex 1622  Vcvv 1786   i^i cin 2017  (/)c0 2251  {csn 2380  <.cop 2382  U.cuni 2471   X. cxp 3131  ` cfv 3145

This theorem is referenced by:  aceq5 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fv 3161

Copyright terms: Public domain