Theorem aceq6a 4665

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 4671) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 4666 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	|- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (w e. u <-> w e. z))
2		eleq1 1510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = z -> (u e. v <-> z e. v))
3	2	anbi1d 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = z -> ((u e. v /\ w e. v) <-> (z e. v /\ w e. v)))
4	3	rexbidv 1640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (E.v e. y (u e. v /\ w e. v) <-> E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	1, 4	anbi12d 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = z -> ((w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v)) <-> (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))))
6	5	abbidv 1553	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))})
7		df-rab 1628	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))}
8		df-rab 1628	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
10	9	unieqd 2480	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
11		eqid 1452	. . . . . . . . . 10 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}
12		visset 1788	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
13	12	rabex 2693	. . . . . . . . . . 11 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
14	13	uniex 2834	. . . . . . . . . 10 |- U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
15	10, 11, 14	fvopab4 3719	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
16	15	eleq1d 1516	. . . . . . . 8 |- (z e. x -> (({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z <-> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z))
17		reucl 2848	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z)
18	16, 17	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (z e. x -> (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
19	18	imim2d 25	. . . . . 6 |- (z e. x -> ((z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
20	19	r19.20i 1680	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
21		visset 1788	. . . . . . 7 |- x e. V
22	21	opabex2 3550	. . . . . 6 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} e. V
23		fveq1 3662	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (f` z) = ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z))
24	23	eleq1d 1516	. . . . . . . 8 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((f` z) e. z <-> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
25	24	imbi2d 610	. . . . . . 7 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
26	25	ralbidv 1639	. . . . . 6 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
27	22, 26	cla4ev 1842	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
28	20, 27	syl 10	. . . 4 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
29	28	19.23aiv 1277	. . 3 |- (E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
30	29	19.20i 968	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
31		aceq3 4657	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
32	30, 31	sylibr 200	1 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440   =/= wne 1561  A.wral 1621  E.wrex 1622  E!wreu 1623  {crab 1624   (_ wss 2018  (/)c0 2251  U.cuni 2471  {copab 2634  dom cdm 3133   Fn wfn 3140  ` cfv 3145

This theorem is referenced by:  aceq7 4667  ac7 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-fv 3161

Copyright terms: Public domain